题目内容

7．利用图形整体面积等于部分面积之和可以证明勾股定理．

①如图（1）所示可以证明勾股定理，因为大正方形面积表示为（a+b）2，又可表示为c2+4×$\frac{1}{2}$ab，所以（a+b）2=c2+4×$\frac{1}{2}$ab，所以a2+b2+2ab=c2+2ab，所以a2+b2=c2，即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．
②美国第20届总统伽菲尔德利用图（2）证明了勾股定理，请你用①的方法证明勾股定理；
③如图（3）请你用①的方法证明勾股定理；
④如图（4）请你用①的方法证明勾股定理．

分析 ②梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证；
③连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a根据S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC，S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB列出关系式，化简即可得证；
④根据题意，我们可在图中找等量关系，由中间的小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个直角三角形的面积，列出等式化简即可得出勾股定理的表达式．．

解答 解：②梯形的面积为$\frac{1}{2}$（a+b）（a+b）=$\frac{1}{2}$a2+ab+$\frac{1}{2}$b2，
也可利用表示为$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c2+$\frac{1}{2}$ab，
∴$\frac{1}{2}$a2+ab+$\frac{1}{2}$b2=$\frac{1}{2}$ab+$\frac{1}{2}$c2+$\frac{1}{2}$ab，即a2+b2=c2
②连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF=EC=b-a
∵S四边形ADCB=S△ACD+S△ABC=$\frac{1}{2}$b2+$\frac{1}{2}$ab．
又∵S四边形ADCB=S△ADB+S△DCB=$\frac{1}{2}$c2+$\frac{1}{2}$a（b-a）
∴$\frac{1}{2}$b2+$\frac{1}{2}$ab=$\frac{1}{2}$c2+$\frac{1}{2}$a（b-a），
∴a2+b2=c2；
④根据题意，中间小正方形的面积c2=（a+b）2-4×$\frac{1}{2}$×ab=a2+b2；
即在直角三角形中斜边的平方等于两直角边的平方和．

点评 此题考查了勾股定理的证明，勾股定理，多项式的乘法的运用以及由多项式画图形的创新题型，此类证明要转化成同一个图形的两种表示方法，从而转化成方程达到证明的结果．

练习册系列答案
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A. 8x-1=7x+1 B. 8x-1=7x C. 8x+l=7x D. 8x+l=7x-1
18．如图，在直角坐标系中，⊙E的半径为5，点E（1，-4）．
（1）求弦AB与弦CD的长；
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15．若2cos2α+（2-$\sqrt{3}$）cosα-$\sqrt{3}$=0，求锐角α的度数．
解：∵2cos2α+（2-$\sqrt{3}$）cosα-$\sqrt{3}$=0，
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∴cosα=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
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2．将一副直角三角板按图1放置，∠ACB=∠CDE=90°，AB边交直线DE于点M，∠CAB=60°，∠ABC=30°，∠ECD=45°，设∠BMD=α，∠BCE=β．
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12．如图所示，在公园长方形空地上，要修两条路（图中的阴影所示），按照图中标的数据，计算图中空白部分的面积为（　　）
A．ab-bc-ac+c2B．bc-ab+acC．b2-bc+a2-abD．a2+ab+bc-ac
19．【阅读材料】“作差法”是常见的比较代数式大小的一种方法，即要比较代数式M、N的大小，只要作出它们的差M-N，若M-N＞0，则M＞N；若M-N=0，则M=N；若M-N＜0，则M＜N．
【解决问题】如图1，把边长为a+b（a≠b）的大正方形分割成两个边长分别是a、b的小正方形及两个长方形，试比较来两个小正方形面积之和M与两个长方形面积之和N的大小．
【拓展延伸】
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13．“三角形的三条角平分线交于一点”，这点I叫做△ABC的内心，显然内心I到三角形三边的距离相等，这个距离叫做三角形的“内切圆半径”，记作r，下面我们来讨论r的求法
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（2）特别地，在Rt△ABC中∠ACB=90°，如图2，（1）中结论仍然成立，而S=$\frac{ab}{2}$故r=$\frac{ab}{a+b+c}$（用a、b、c表示），记作①式；
另外，容易证明四边形IPCQ为正方形，即CP=CQ=r，所以可以得到r的另一种表达方式r=$\frac{a+b-c}{2}$（用a、b、c表示），记作②式；
由上述①式②式相等，请继续推导直角三角形中a、b、c的关系．
14．计算（2a）2÷a，正确的结果是（　　）
A．4a2B．6a2C．4a3D．4a

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