Question

8．阅读下列材料解决问题：
材料：古希腊著名数学家毕达哥拉斯发现把数1，3，6，10，15，21…这些数量的（石子），都可以排成三角形，则称像这样的数为三角形数．
把数1，3，6，10，15，21…换一种方式排列，即
1=1
1+2=3
1+2+3=6
1+2+3+4=10
1+2+3+4+5=15
…
从上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，…叫做三角形数“名副其实”
（1）设第一个三角形数为a₁=1，第二个三角形数为a₂=3，第三个三角形数为a₃=6，请直接出第n个三角形数为a_n的表达式（其中n为正整数）．
（2）根据（1）的结论判断66是三角形数吗？若是请说出66是第几个三角形数？若不是请说明理由．
（3）根据（1）的结论判断所有三角形数的倒数之和T与2的大小关系并说明理由．

Answer 1

分析 （1）列出部分a_n值，根据a_n的变化找出规律“a_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$（n为正整数）”；
（2）假设66是三角形数，结合（1）结论，令66=$\frac{n（n+1）}{2}$，解关于n的一元二次方程，即可得出n的值，从而得出结论；
（3）将$\frac{1}{{a}_{n}}$变形成两个分数相减的形式，求出T的值再与2进行比较即可得出结论．

解答 解：（1）观察，发现规律：a₁=1，a₂=1+2=3，a₃=1+2+3=6，a₄=1+2+3+4=10，…，
则a_n=1+2+3+…+n=$\frac{n（n+1）}{2}$（n为正整数）．
（2）假设66是三角形数，
令66=$\frac{n（n+1）}{2}$，即n²+n-132=0，
解得：n=11，或n=-12（舍去）．
则66是三角形数，66是第11个三角形数．
（3）T＜2，理由如下：
T=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+$\frac{1}{{a}_{3}}$+…+$\frac{1}{{a}_{n}}$，
=$\frac{2}{1×2}$+$\frac{2}{2×3}$+$\frac{2}{3×4}$+…+$\frac{2}{n（+1）}$，
=2（1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），
=2（1-$\frac{1}{n+1}$）＜2．
则所有三角形数的倒数之和T＜2．

点评 本题考查了规律型中的数字的变化规律，解题的关键是找出规律“a_n=$\frac{n（n+1）}{2}$（n为正整数）”．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，列出部分数据，根据数据的变化找出变化规律是关键．