Question

12．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=12，经过点C且与AB边相切的动圆与BC、CA分别相交于点M、N，则线段MN长度的最小值为$\frac{60}{13}$．

Answer 1

分析 设MN的中点为P，⊙P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PD⊥AB；由勾股定理可求得BC的长，由MN=PD+CP可得到MN≥CD，故此当MN=CD时，MN有最小值，此时点C、P、D在一条直线上，最后利用面积法可求得CD的长，从而得到MN的最小值．

解答 解：如图，设MN的中点为P，⊙P与AB的切点为D，连接PD，连接CP，CD，则有PD⊥AB；
∵AB=13，AC=12，
∴BC=$\sqrt{A{B}^{2}-A{C}^{2}}$=5．
∵PC+PD=MN，
∴PC+PD≥CD，MN≥CD．
∴当MN=CD时，MN有最小值．
∵PD⊥AB，
∴CD⊥AB．
∵$\frac{1}{2}$AB•CD=$\frac{1}{2}$BC•AC，
∴CD=$\frac{BC•AC}{AB}$=$\frac{5×12}{13}$=$\frac{60}{13}$．
∴CD的最小值$\frac{60}{13}$．
∴MN的最小值为$\frac{60}{13}$．
故答案为：$\frac{60}{13}$．

点评 此题主要考查了切线的性质，勾股定理的逆定理，三角形的三边关系，直角三角形的面积公式求解，得出CD=BC•AC÷AB是解题关键．