Question

10．如图，在平行四边形OABC中，∠AOC=60°，OC=4cm，OA=8cm，动点P从点O出发，以1cm/s的速度沿边按O→A→B运动，同时动点Q从点O出发，以1cm/s的速度沿边按O→C→B运动，其中一点到达终点B时，另一点也停止运动，设运动时间为t（s），平行四边形OABC位于直线PQ左侧的图形面积为S（cm²）．
（1）平行四边形OABC的面积是16$\sqrt{3}$cm²；
（2）当t=6s时，直线PQ平分平行四边形OABC的面积；
（3）求S关于t的函数解析式．

Answer 1

分析 （1）在Rt△COD中求出CD=2$\sqrt{3}$，再利用平行四边形的面积公式即可得出结论；
（2）先求出S_梯形OCQP=8$\sqrt{3}$，再用梯形的面积公式即可得出结论；
（3）分三段用三角形和梯形的面积公式即可得出结论．

解答 解：（1）如图1，
过点C作CD⊥OA于D，
在Rt△COD中，∠AOC=60°，OC=4，
∴CD=2$\sqrt{3}$，
∵OA=8，
∴S_{平行四边形OABC}=OA•CD=8×2$\sqrt{3}$=16$\sqrt{3}$cm²，
故答案为：16$\sqrt{3}$；
（2）如图3，过点C作CD⊥OA于D，
由（1）知，CD=2$\sqrt{3}$，S_{平行四边形OABC}=16$\sqrt{3}$cm²，
∵直线PQ平分平行四边形OABC的面积，
∴S_梯形OCQP=$\frac{1}{2}$S_{平行四边形OABC}=$\frac{1}{2}$×16$\sqrt{3}$=8$\sqrt{3}$，
由运动知，CQ=t-4，OP=t，
∴S_梯形OCQP=$\frac{1}{2}$（CQ+OP）•CD=$\frac{1}{2}$（t-4+t）×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$（2t-4）=8$\sqrt{3}$，
∴t=6，
故答案为：6；

（3）当0≤t≤4时，如图2，
过点Q作QD⊥OA于D，
在Rt△ODQ中，∠AOC=60°，OQ=t，
∴DQ=OQsin∠AOC=$\frac{\sqrt{3}}{2}$t，
∴S=S_△OPQ=$\frac{1}{2}$×OP×DQ=$\frac{1}{2}$t×$\frac{\sqrt{3}}{2}$t=$\frac{\sqrt{3}}{4}$t²，

当4＜t≤8时，如图3，
过点C作CD⊥OA于D，
由（1）知，CD=2$\sqrt{3}$，由运动知，CQ=t-4，OP=t，
∴S_梯形OCQP=$\frac{1}{2}$（CQ+OP）•CD=$\frac{1}{2}$（t-4+t）×2$\sqrt{3}$=$\sqrt{3}$（2t-4）=2$\sqrt{3}$t-4$\sqrt{3}$，


当8＜t≤12时，如图4，过点P作PD⊥BC于D，
∵四边形OABC时平行四边形，∴∠B=60°，
由运动知，BQ=PB=12-t，
在Rt△PDB中，PD=PBsin∠B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$（12-t），
∴S_{五边形OAPQC}=S_{平行四边形OABC}-S_△PBQ
=16$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$BQ×PD=16$\sqrt{3}$-$\frac{1}{2}$（12-t）×$\frac{\sqrt{3}}{2}$（12-t）=16$\sqrt{3}$-$\frac{\sqrt{3}}{4}$（12-t）²，

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的性质，三角形的面积公式，平行四边形的面积公式，解本题的关键是画出图形，是一道中等难度的中考常考题．