Question

3．如图，正方形ABCD的面积为4，E，F分别是AB、CD上的点，AF与ED相交于点G，BF与EC相交于点H，求四边形EHFG面积的最大值．

Answer 1

分析 连接EF，作GM⊥AD于M，HN⊥BC于N．设GM=x，HN=y，AE=a，DF=b．想办法证明S_{四边形GEHF}=2（x+y）=[$\frac{ab}{a+b}$+$\frac{（4-a）（4-b）}{8-a-b}$]=2[$\frac{16（a+b）-4（{a}^{2}+{b}^{2}）}{（a+b）（8-a-b）}$]=4[$\frac{8（a+b）-{a}^{2}-{b}^{2}-（{a}^{2}+{b}^{2}）}{（a+b）（8-a-b）}$]≤4[$\frac{8（a+b）-{a}^{2}-{b}^{2}-2ab}{（a+b）（8-a-b）}$]=4$\frac{（a+b）（8-a-b）}{（a+b）（8-a-b）}$=4，由此即可解决问题．

解答 解：连接EF，作GM⊥AD于M，HN⊥BC于N．设GM=x，HN=y，AE=a，DF=b．
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB∥CD，
∴S_△AED=S_△AEF，
∴S_△AGD=S_△AGF，
同理：S_△EFH=S_△BCH，
∵S_{四边形GEHF}=S_△EFG+S_△EFH=S_△ADG+S_△BCH=$\frac{1}{2}$×4×（x+y）=2（x+y），
∵$\frac{x}{a}$+$\frac{x}{b}$=$\frac{MD}{DA}$+$\frac{AM}{DA}$=1，
∴x=$\frac{ab}{a+b}$，
同理可得y=$\frac{（4-a）（4-b）}{8-a-b}$，
∴S_{四边形GEHF}=2（x+y）=[$\frac{ab}{a+b}$+$\frac{（4-a）（4-b）}{8-a-b}$]
=2[$\frac{16（a+b）-4（{a}^{2}+{b}^{2}）}{（a+b）（8-a-b）}$]
=4[$\frac{8（a+b）-{a}^{2}-{b}^{2}-（{a}^{2}+{b}^{2}）}{（a+b）（8-a-b）}$]
≤4[$\frac{8（a+b）-{a}^{2}-{b}^{2}-2ab}{（a+b）（8-a-b）}$]=4$\frac{（a+b）（8-a-b）}{（a+b）（8-a-b）}$=4，
∴四边形EGHF的面积的最大值为4．

点评 本题考查正方形的性质、等高模型、平行线分线段成比例定理、基本不等式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于竞赛题．