题目内容
7．如图，四边形ABCD中，AB∥CD，DA⊥AB，CD=20cm，点E为直线AB上一点，过点E作EF∥AD．（1）求证：EF⊥CD；
（2）动点P从点D出发，向点C方向运动，连接EP，判断线段EF与线段EP的大小关系：EP≥EF；
（3）在（2）的条件下，点P运动的同时，有一点Q从点C出发，向点D方向运动，在它们起步的同时，点M从D出发向动点Q运动，遇到点Q后立即返回向点P方向运动，点M如此往返，在P、Q两点之间来回运动，直到P、Q两点相遇后停止，若P、Q两点的速度都为5cm/秒，点M的速度为10cm/秒，连接EM，在点M运动过程中，线段EM扫过的图形面积为100cm2，求EF长．
分析 （1）根据矩形的判定定理和性质定理证明；
（2）根据垂线段最短解答；
（3）根据题意求出点M移动的距离，根据三角形的面积公式计算即可．
解答 解：（1）∵AB∥CD，EF∥AD，
∴四边形ADFE是平行四边形，又DA⊥AB，
∴平行四边形ADFE是矩形，
∴EF⊥CD；
（2）∵EF⊥CD，点P在DC上，
∴EP≥EF，
故答案为：≥；
（3）∵CD=20cm，
∴P、Q两点相遇的时间为：$\frac{20}{5+5}$=2s，
则点M移动的距离为：10×2=20cm，
由题意得，$\frac{1}{2}$×EF×20=100，
解得，EF=10cm．
点评 本题考查的是矩形的判定和性质，掌握矩形的判定定理和性质定理、垂线段最短是解题的关键．
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