Question

18．已知实数a，b，c满足$\frac{{a}^{2}-{b}^{2}-{c}^{2}}{2bc}$+$\frac{{b}^{2}-{c}^{2}-{a}^{2}}{2ca}$+$\frac{{c}^{2}-{a}^{2}-{b}^{2}}{2ab}$=-1，求（$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$）²⁰¹²+（$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2ca}$）²⁰¹²+（$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$）²⁰¹²的值．

Answer 1

分析 由原式可得（$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$-1）+（$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$-1）+（$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+1）=0，即$\frac{（b-c）^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+$\frac{（a-c）^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+$\frac{（a+b）^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=0，利用平方差公式展开后提取公因式（啊+b-c）可得（a+b-c）（$\frac{b-c-a}{2bc}$+$\frac{a-c-b}{2ac}$+$\frac{a+b+c}{2ab}$）=0，即（a+b-c）$\frac{{c}^{2}-（a-b）^{2}}{2abc}$=0，进一步分解因式即可得（a+b-c）•$\frac{（c+a-b）（c-a+b）}{2abc}$=0，从而得知a+b-c=0或c-a+b=0或c+a-b=0，继而知$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$、$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2ca}$、$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$中有两个分式的值为1，另一个为-1，即可得答案．

解答 解：由题意得$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=1，
∴（$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$-1）+（$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$-1）+（$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$+1）=0，
∴$\frac{（b-c）^{2}-{a}^{2}}{2bc}$+$\frac{（a-c）^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+$\frac{（a+b）^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=0，
∴$\frac{（b-c-a）（b-c+a）}{2bc}$+$\frac{（a-c-b）（a-c+b）}{2ac}$+$\frac{（a+b-c）（a+b+c）}{2ab}$=0，
∴（a+b-c）（$\frac{b-c-a}{2bc}$+$\frac{a-c-b}{2ac}$+$\frac{a+b+c}{2ab}$）=0，
∴（a+b-c）$\frac{ab-ac-{a}^{2}+ab-bc-{b}^{2}+ac+bc+{c}^{2}}{2abc}$=0，
∴（a+b-c）$\frac{{c}^{2}-（a-b）^{2}}{2abc}$=0，
∴（a+b-c）•$\frac{（c+a-b）（c-a+b）}{2abc}$=0，
∴a+b-c=0或c-a+b=0或c+a-b=0，
∴$\frac{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}{2bc}$、$\frac{{c}^{2}+{a}^{2}-{b}^{2}}{2ca}$、$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$中有两个分式的值为1，另一个为-1，
∴原式=3．

点评 本题主要考查分式的化简求值，掌握分式的运算能力是解题的根本，对已知等式变形得出a+b-c=0或c-a+b=0或c+a-b=0是解题的关键．