Question

10．求证：四边形ABCD的两条对角线之和小于它的周长而大于它的周长之半．

Answer 1

分析 根据三角形三边关系可得出AB＜OA+OB、BC＜OB+OC、CD＜OC+OD、AD＜OA+OD，将四个不等式左右相加即可得出AC+BD＞$\frac{1}{2}$C_{四边形ABCD}，再根据三角形的三边关系可得出AC＜AB+BC、AC＜CD+DA、BD＜BC+CD、BD＜AB+DA，将四个不等式左右相加即可得出AC+BD＜C_{四边形ABCD}，此题得证．

解答 证明：依照题意画出图形，如图所示．
在△AOB中，AB＜OA+OB，
同理：BC＜OB+OC，CD＜OC+OD，AD＜OA+OD．
将四个不等式左右分别相加得：AB+BC+CD+DA＜2（OA+OB+OC+OD）=2（AC+BD），
∴AC+BD＞$\frac{1}{2}$（AB+BC+CD+DA）=$\frac{1}{2}$C_{四边形ABCD}．
在△ABC中，AC＜AB+BC，
同理：AC＜CD+DA，BD＜BC+CD，BD＜AB+DA，
将四个不等式左右分别相加得：2（AC+BD）＜2（AB+BC+CD+DA），
∴AC+BD＜AB+BC+CD+DA=C_{四边形ABCD}．
∴$\frac{1}{2}$C_{四边形ABCD}＜AC+BD＜C_{四边形ABCD}．

点评 本题考查了三角形的三边关系，解题的关键是根据三角形的三边关系找出不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用三角形的三边关系找出不等式是关键．