Question

13．如图在△ABC中，∠A=30°，E为AC上一点，且AE：EC=3：1，EF⊥AB于F，连接FC，则cot∠CFB=（　　）

• A． $\frac{1}{6}$$\sqrt{3}$
• B． $\frac{1}{4}$$\sqrt{3}$
• C． $\frac{1}{2}\sqrt{3}$
• D． $\frac{4}{3}$$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 作出CD⊥AB，垂足为D，则EF∥CD，设EC=x，则AE=3x，由三角函数得出EF=$\frac{3}{2}$x，AF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x．由平行线分线段成比例定理得出$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AF}{FD}$=3，
得出DF=$\frac{1}{3}$AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，$\frac{AE}{AC}$=$\frac{EF}{CD}$=$\frac{3}{4}$，求出CD=2x，再由三角函数的定义即可得出结果．

解答 解：如图，作出CD⊥AB，垂足为D，则EF∥CD，
∵AE：EC=3：1，
∴设EC=x，则AE=3x，
∵sinA=sin30°=EF：AE=1：2，
∴EF=$\frac{3}{2}$x，
∵cosA=cos30°=AF：AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴AF=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$x．
∵EF∥CD，
∴$\frac{AE}{EC}$=$\frac{AF}{FD}$=3，
∴DF=$\frac{1}{3}$AF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$x，$\frac{AE}{AC}$=$\frac{EF}{CD}$=$\frac{3}{4}$，
即$\frac{\frac{3}{2}x}{CD}=\frac{3}{4}$，
解得；CD=2x，
∴cot∠CFB=$\frac{DF}{CD}$=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}x}{2x}$=$\frac{1}{4}\sqrt{3}$；
故选：B．

点评 本题考查了解直角三角形、三角函数、平行线分线段成比例定理等知识；通过作辅助线得出DF和CD是解决问题的关键．