Question

13．如图，?ABCD中，AD=2AB，点E在BC边上，且CE=$\frac{1}{4}$AD，F为BD的中点，连接EF．
（1）当∠ABC=90°，AD=4时，连接AF，求AF的长；
（2）连接DE，若DE⊥BC，求∠BEF的度数；
（3）求证：∠BEF=$\frac{1}{2}$∠BCD．

Answer 1

分析 （1）如图1中，首先证明四边形ABCD是矩形，利用勾股定理求出BD，再利用直角三角形斜边的中线的性质即可解决问题；
（2）如图2中，由题意$\frac{DC}{BC}$=$\frac{EC}{DC}$=$\frac{1}{2}$，由∠C=∠C，推出△DCE∽△BCD，推出∠BDC=∠DEC=90°，$\frac{DE}{BD}$=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，推出sin∠DBE=$\frac{1}{2}$，可得∠DBE=30°，由此即可解决问题；
（3）如图3中，作∠BCD的平分线CH交BD于H．则易知$\frac{BC}{CD}$=$\frac{BH}{DH}$=2，想办法证明EF∥CH即可；

解答 （1）解：如图1中，

∵四边形ABCD是平行四边形，∠ABC=90°，
∴四边形ABCD是矩形，
∴∠BAD=90°，
∵AD=4，AD=2AB，
∴AB=2，BD=$\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵BF=DF，
∴AF=$\frac{1}{2}$BD=$\sqrt{5}$．

（2）解：如图2中，

∵ED⊥BC，
∴∠DEC=90°，
由题意$\frac{DC}{BC}$=$\frac{EC}{DC}$=$\frac{1}{2}$，∵∠C=∠C，
∴△DCE∽△BCD，
∴∠BDC=∠DEC=90°，$\frac{DE}{BD}$=$\frac{DC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，
∴sin∠DBE=$\frac{1}{2}$，
∴∠DBE=30°，
∵BF=DF，
∴EF=BF=DF，
∴∠BEF=∠DBE=30°．

（3）证明：如图3中，作∠BCD的平分线CH交BD于H．则易知$\frac{BC}{CD}$=$\frac{BH}{DH}$=2，

∵BF=DF，
∴BH：FH=3：1，
∵EC=$\frac{1}{4}$AD，AD=BC，
∴BC=4CE，
∴BE：EC=3：1，
∴$\frac{BF}{FH}$=$\frac{BE}{EC}$，
∴EF∥CH，
∴∠BEF=∠BCH=$\frac{1}{2}$∠BCD．

点评 本题考查平行四边形的性质、直角三角形斜边中线的性质、锐角三角函数、平行线的判定．角平分线的性质定理等知识，解题的关键灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．