Question

4．如图，在△ABC与△OCD中，∠ACB=∠DCO=90°，O为AB的中点．
（1）求证：∠B=∠ACD；
（2）已知点E在AB上，且BC²=AB•BE；
①证明：CD与以A为圆心、AE为半径的⊙A相切；
②若tan∠ACD=$\frac{3}{4}$，BC=10，求CE的长，设①中的⊙A与DB交于点M，直接写出DM=$\frac{81}{7}$．

Answer 1

分析 （1）根据∠ACB=∠DCO=90°，得到∠ACD=∠OCB，根据直角三角形的性质得到OC=OB，得到∠OCB=∠B，利用等量代换证明结论；
（2）①因为BC²=AB•BE，所以△ABC∽△CBE，所以∠ACB=∠CEB=90°，过点A作AF⊥CD于点F，易证∠DCA=∠ACE，所以CA是∠DCE的平分线，所以AF=AE，所以直线CD与⊙A相切；
②根据正切的概念分别求出CE、BE、AC、AE，根据正弦的定义解答即可．

解答 （1）证明：∵∠ACB=∠DCO=90°，
∴∠ACB-∠ACO=∠DCO-∠ACO，
即∠ACD=∠OCB，
∵点O是AB的中点，
∴OC=OB，
∴∠OCB=∠B，
∴∠ACD=∠B；
（2）①作AF⊥CD于点F，
∵BC²=AB•BE，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{BE}{BC}$，
∵∠B=∠B，
∴△ABC∽△CBE，
∴∠ACB=∠CEB=90°，
∵∠CEB=90°，
∴∠B+∠ECB=90°，
∵∠ACE+∠ECB=90°，
∴∠B=∠ACE，
∵∠ACD=∠B，
∴∠ACD=∠ACE，
∴CA平分∠DCE，
∵AF⊥CE，AE⊥CE，
∴AF=AE，
∴直线CD与⊙A相切；
②∵∠B=∠ACD，tan∠ACD=$\frac{3}{4}$，
∴tan∠B=$\frac{3}{4}$，
∵BC=10，
∴CE=6，BE=8，AC=$\frac{15}{2}$，AB=$\frac{25}{2}$，
∴AE=$\frac{9}{2}$，OE=$\frac{7}{4}$，
∵O为AB的中点，
∴CO=$\frac{1}{2}$AB=$\frac{25}{4}$，
∴sin∠OCE=$\frac{OE}{OC}$=$\frac{7}{25}$，
∵∠D=∠OCE，
∴sin∠D=$\frac{7}{25}$，又AF=AE=$\frac{9}{2}$，
∴$\frac{\frac{9}{2}}{AD}$=$\frac{7}{25}$，
解得，AD=$\frac{225}{14}$，
∴DE=AD-AM=$\frac{81}{7}$，
故答案为：$\frac{81}{7}$．

点评 本题考查圆的综合问题，涉及等量代换，勾股定理，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数等知识，知识点较综合，需要学生灵活运用所学知识解决问题．