Question

15．已知，如图，直线MN交⊙O于A，B两点，AC是直径，AD平分∠CAM交⊙O于D，过D作DE⊥MN于E．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）若DE=6cm，AE=3cm，求⊙O的半径．
（3）在（2）的条件下，直接写出tan∠CAB的值．

Answer 1

分析 （1）连接OD欲证明DE是⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．
（2）连接CD，首先求出AD，由△ACD∽△ADE，得到$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AC}{DA}$，即可求出AC解决问题．
（3）作OF⊥MN于F，则四边形ODEF是矩形，根据tan∠CAB=$\frac{OF}{AF}$，求出AF即可解决问题．

解答 （1）证明：连接OD．
∵OA=OD
∴∠OAD=∠ODA
∵∠OAD=∠DAE
∴∠ODA∠DAE．
∴DO∥MN，
∵DE⊥MN，
∴∠ODE=∠DEM=90°
即OD⊥DE，
∵D在⊙O上
∴DE是⊙O的切线．

（2）解：连接CD
∵∠AED=90°，DE=6，AE=3，
∴AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{5}$，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=∠AED=90°，
∵∠CAD=∠DAE，
∴△ACD∽△ADE，
∴$\frac{AD}{AE}$=$\frac{AC}{DA}$，
∴$\frac{3\sqrt{5}}{3}$=$\frac{AC}{3\sqrt{5}}$，
∴AC=15，
∴⊙O的半径是7.5cm．

（3）解：作OF⊥MN于F，则四边形ODEF是矩形，OF=AD=6，
∴AF=$\sqrt{O{A}^{2}-O{F}^{2}}$=$\sqrt{7．{5}^{2}-{6}^{2}}$=4.5，
∴tan∠CAB=$\frac{OF}{AF}$=$\frac{6}{4.5}$=$\frac{4}{3}$．

点评 本题考查圆综合题、切线的判定、相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，灵活应用相似三角形性质解决问题，属于中考常考题型．