题目内容
19．对于一个圆和一个正方形给出如下定义：若圆上存在到此正方形四条边距离都相等的点，则称这个圆是该正方形的“等距圆”．如图1，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．
（1）当r=2$\sqrt{2}$时，在P1（0，2），P2（-2，4），P3（4$\sqrt{2}$，2），P4（0，2-2$\sqrt{2}$）中可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心的是P2（-2，4）或P4（0，2-2$\sqrt{2}$）；
（2）若点P坐标为（-3，6），则当⊙P的半径r=5时，⊙P是正方形ABCD的“等距圆”．试判断此时⊙P与直线AC的位置关系？并说明理由．
（3）如图2，在正方形ABCD所在平面直角坐标系xOy中，正方形EFGH的顶点F的坐标为（6，2），顶点E、H在y轴上，且点H在点E的上方．
若⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，求⊙P的圆心P的坐标．
分析 （1）根据“等距圆”的定义，可知只要圆经过正方形的中心，即是正方形的“等距圆”，也就是说圆心与正方形中心的距离等于圆的半径即可，从而可以判断哪个点可以成为正方形ABCD的“等距圆”的圆心，本题得以解决；
（2）根据题意可知，只要求出点P与正方形ABCD的中心的距离即可求得半径r的长度，连接PE，可以得到直线PE的解析式，看点B是否在此直线上，由BE与直线AC的关心可以判断PE与直线AC的关系，本题得以解决；
（3）根据题意，可以得到点P满足的条件，列出形应的二元一次方程组，从而可以求得点P的坐标．
解答 解：（1）连接AC、BD相交于点M，如右图1所示，
∵四边形ABCD是正方形，
∴点M是正方形ABCD的中心，到四边的距离相等，
∴⊙P一定过点M，
∵正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧．
∴点M（0，2），
设⊙P的圆心坐标是（x，y），
∴（x-0）2+（y-2）2=（2 $\sqrt{2}$）2，
将P1（0，2），P2（-2，4），P3（4 $\sqrt{2}$，2），P4（0，2-2$\sqrt{2}$）分别代入上面的方程，只有P2（-2，4）和P4（0，2-2$\sqrt{2}$）成立，
故答案为：P2（-2，4）或P4（0，2-2$\sqrt{2}$）；
（2）由题意可得，
点M的坐标为（0，2），点P（-3，6），
∴r=$\sqrt{（-3-0）^{2}+（6-2）^{2}}$=5，
即当P点坐标为（-3，6），则当⊙P的半径r是5时，⊙P是正方形ABCD的“等距圆”；
故答案为5．
此时⊙P与直线AC的位置关系是相交，
理由：∵正方形ABCD的顶点A的坐标为（2，4），顶点C、D在x轴上，且点C在点D的左侧，
∴点C（-2，0），
设过点A（2，4），点C（-2，0）的直线的解析式为y=kx+b，
则 $\left\{\begin{array}{l}{2k+b=4}\\{-2k+b=0}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=2}\end{array}\right.$，
即直线AC的解析式为：y=x+2，
∴点P（-3，6）到直线AC的距离为：$\frac{|-3-6+2|}{\sqrt{{1}^{2}+（-1）^{2}}}$=$\frac{7\sqrt{2}}{2}$，
∵$\frac{7\sqrt{2}}{2}$＜5，
∴此时⊙P与直线AC的位置关系是相交；
（3）设点P的坐标为（x，y），连接HF、EG交于点N，则点N为正方形EFGH的中心，如图2所示，
∵点E（0，2），N（3，5），点C（-2，0），点B（-2，4），⊙P同时为上述两个正方形的“等距圆”，且与BC所在直线相切，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{（x-0）^{2}+（2-y）^{2}}=\sqrt{（3-x）^{2}+（5-y）^{2}}}\\{\sqrt{（x-0）^{2}+（2-y）^{2}}=x-（-2）}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=5+2\sqrt{5}}\\{y=-2\sqrt{5}}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=5-2\sqrt{5}}\\{y=2\sqrt{5}}\end{array}\right.$，
即⊙P的圆心P的坐标是（5+2 $\sqrt{5}$，-2$\sqrt{5}$）或（5-2$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$）．
点评 本题考查圆的综合题，解题的关键是明确题意，根据题目给出的条件，作出合适的辅助线，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．
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如图，在Rt△ABC中，已知∠ABC=90°，∠ACB=60°，DE是斜边AC的中垂线，分别交AB，AC于点D，E，连接DC，若BD=2，求线段AC的长．
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