Question

14．已知菱形A₁B₁C₁D₁的边长为2，∠A₁B₁C₁=60°，对角线A₁C₁、B₁D₁相交于点O，以点O为坐标原点，分别以OB₁，OA₁所在直线为x轴、y轴建立如图所示的直角坐标系，以B₁D₁为对角线作菱形B₁C₂D₁A₂∽菱形A₁B₁C₁D₁，再以A₂C₂为对角线作菱形A₂B₂C₂D₂∽菱形B₁C₂D₁A₂，再以B₂D₂为对角线作菱形B₂C₃D₂A₃∽菱形A₂B₂C₂D₂，…，按此规律继续作下去，在y轴的正半轴上得到点A₁，A₂，A₃，…，A_n，则点A₂₀₁₇的坐标为（0，3²⁰¹⁶）．

Answer 1

分析 先根据菱形的性质求出A₁的坐标，根据勾股定理求出OB₁的长，再由锐角三角函数的定义求出OA₂的长，故可得出A₂的坐标，同理可得出A₃的坐标，找出规律即可得出结论．

解答 解：∵菱形A₁B₁C₁D₁的边长为2，∠A₁B₁C₁=60°，
∴OA₁=A₁B₁•sin30°=2×，$\frac{1}{2}$=1，OB₁=A₁B₁•cos30°=2×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$，
∴A₁（0，1）．
∵B₁C₂D₁A₂∽菱形A₁B₁C₁D₁，
∴OA₂=$\frac{O{B}_{1}}{tan30°}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{3}}$=3，
∴A₂（0，3）．
同理可得A₃（0，9）…
∴A₂₀₁₇（0，3²⁰¹⁶）．
故答案为：（0，3²⁰¹⁶）．

点评 本题考查的是相似多边形的性质，熟知相似多边形的对应角相等是解答此题的关键．