Question

16．如图，△ABC中，AB=AC，△DEF是△ABC的内接正三角形，则下列关系式成立的是（　　）

• A． 2∠1=∠2+∠3
• B． 2∠2=∠1+∠3
• C． 2∠3=∠1+∠2
• D． ∠1+∠2+∠3=90°

Answer 1

分析 先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可知∠A+2∠B=180°，由△DEF是等边三角形可知∠AEF=120°-∠2，∠BFD=120°-∠3，由三角形内角和定理可知∠A+∠AFD+∠3=180°，∠B+∠1+∠BDE=180°，再把所得式子联立即可求出∠1、∠2、∠3的关系．

解答 解：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠A+2∠B=180°①，
∵△DEF是等边三角形，
∴∠AFD=120°-∠2，∠BDE=120°-∠3，
在△ADF中，∠A+∠AFD+∠3=180°，即∠A+120°-∠2+∠3=180°②，
在△BDE中，∠B+∠1+∠BDE=180°，即∠B+∠2+120°-∠3=180°③，
①②③联立，解得∠1=$\frac{∠2+∠3}{2}$．
则2∠1=∠2+∠3．
故选：A．

点评 本题考查的是等边三角形及等腰三角形的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°是解答此题的关键．