Question

7．如图，四边形的两条对角线AC、BD所成的锐角为45°，当AC+BD=18时，四边形ABCD的面积最大值是（　　）

• A． $\frac{75}{4}$$\sqrt{2}$
• B． 19$\sqrt{2}$
• C． $\frac{81}{4}$$\sqrt{2}$
• D． 21$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 根据四边形面积公式，S=$\frac{1}{2}$AC×BD×sin45°，根据sin45°=$\frac{\sqrt{2}}{2}$得出S=$\frac{1}{2}$x（18-x）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，再利用二次函数最值求出即可．

解答 解：∵AC与BD所成的锐角为45°，
∴根据四边形面积公式，得四边形ABCD的面积S=$\frac{1}{2}$AC×BD×sin45°，
设AC=x，则BD=18-x，
所以S=$\frac{1}{2}$x（18-x）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$=-$\frac{\sqrt{2}}{4}$（x-9）²+$\frac{81\sqrt{2}}{4}$，
所以当x=9，S有最大值$\frac{81\sqrt{2}}{4}$．
故选：C．

点评 此题主要考查了四边形面积公式以及二次函数最值和锐角三角函数的取值范围，得出S=$\frac{1}{2}$x（18-x）×$\frac{\sqrt{2}}{2}$，进而利用二次函数最值求出是解决问题的关键．