Question

9．如图，在Rt△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为边AB上一点，CD绕点D顺时针旋转90°至DE，CE交AB于点G．已知AD=4，BG=3，点F是AE的中点，连接DF，求线段DF的长．

Answer 1

分析 如图，将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△CBP，作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，在NA上截取一点H，使得NH=NE，连接HE，PG，由△GCD≌△GCP，推出DG=PG，再证明△CDM≌△DEN，只要证明DF是△AHE中位线，求出HE即可解决问题．

解答 解：如图，将△ACD绕点C逆时针旋转90°得到△CBP，作CM⊥AB于M，EN⊥AB于N，在NA上截取一点H，使得NH=NE，连接HE，PG．

∵AC=BC，∠ACB=90°，
∴∠CAB=∠CBA=45°，
∵DC=DE，∠CDE=90°，
∴∠DCE=45°，
∴∠ACD+∠BCG=45°，
∵∠ACD=∠BCP，
∴∠GCP=∠GCD=45°，
在△GCD和△GCP中，
$\left\{\begin{array}{l}{GC=GC}\\{∠GCP=∠GCD}\\{CD=CP}\end{array}\right.$，
∴△GCD≌△GCP，
∴DG=PG，
∵∠PBG=∠PBC+∠CBG=90°，BG=3，PB=AD=4，
∴PG=DG=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5，
∴AB=AD+DG+BG=12，CM=AM=MB=6，DM=AM-AD=2，
∵∠DCM+∠CDM=90°，∠CDM+∠EDN=90°，
∴∠DCM=∠EDN，
在△CDM和△DEN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCM=∠EDN}\\{∠CMD=∠DNE}\\{CD=DE}\end{array}\right.$，
∴△CDM≌△DEN，
∴DM=NE=HN=2，CM=DN=AM，
∴AD=NM，DH=AD，
∵AF=FE，
∴DF=$\frac{1}{2}$HE=$\frac{1}{2}$$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=$\sqrt{2}$．

点评 本题考查旋转变换、全等三角形判定和性质、勾股定理、三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会利用旋转添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用三角形中位线定理解决线段问题，属于中考压轴题．