Question

4．如图1，线段AB被P₁，P₂，P₃，…，P_n-1分成n（n≥2）份，设AP₁=x，若P₁P₂=x+1，P₂P₃=x=2，P₃P₄=x+3，…，P_n-1B=x+（n-1），则称线段AB为n阶线段；其中AP₁的长x叫做起分量，n称为线段AB的阶数．如：线段AB=9，可被P₁，P₂分为长为2，3，4三条线段（如图2），即：9=2+3+4，则AB称为起分量为2的3阶线段；也可被P₁分为长4，5两条线段（如图3），即：9=4+5，则AB也可称为起分量为4的2阶线段．

（1）求起分量为7的3阶线段长；
（2）求长为39的6阶线段的起分量；
（3）长为15的线段可以是几阶线段，起分量分别是多少？（简要说明理由）
（4）直接写出长为2016，起分量为1的线段的阶数．

Answer 1

分析 （1）求三个连续整数的和，最小的数为7；
（2）6个连续的整数的和为39，设最小的数为x，列方程可求得；
（3）分三种情况：连续整数和为15，列式计算；
（4）设阶数为a，则从1加到a的和为2016，列式得一元二次方程，解出即可．

解答 解：（1）7+8+9=24，
∴起分量为7的3阶线段长为24；
（2）设起分量为x，
则x+（x+1）+（x+2）+（x+3）+（x+4）+（x+5）=39，
x=4，
∴长为39的6阶线段的起分量为4；
（3）①15=1+2+3+4+5，
∴长为15的线段可以是5阶线段，起分量分别是1，
②15=4+5+6，
∴长为15的线段可以是3阶线段，起分量分别是4，
③15=7+8，
∴长为15的线段可以是2阶线段，起分量分别是7，
（4）设长为2016，起分量为1的线段的阶数为a，
则1+2+3+…+a=2016，
$\frac{a（a+1）}{2}$=2016，
a²+a-4032=0，
（a+64）（a-63）=0，
a₁=-64（舍）  a₂=63，
∴长为2016，起分量为1的线段的阶数为63．

点评 本题是图形的变化类规律题，虽然题意叙述比较多，但难度不大；此类题要认真观察、仔细思考，善用联想来解决这类问题；发现与连续整数的和有关，找出规律，依次解答．