Question

9．如图，在△ABC中，AB=AC=1，∠A=60°，边长为1的正方形的一个顶点D在边AC上，与△ABC另两边分别交于点E、F，DE∥AB，将正方形平移，使点D保持在AC上（D不与A重合），设AF=x，正方形与△ABC重叠部分的面积为y．
（1）求y与x的函数关系式；
（2）x取何值时，y有最大值，最大值为多少？

Answer 1

分析 1）当点D保持在AC上时，正方形与△ABC重叠部分为直角梯形DEBF，根据直角梯形的面积公式，只需用含x的代数式分别表示出上底DE、下底BF及高DF的长度即可．由△ADF为等腰直角三角形，可得高DF=AF=x；则AD=2x，下底BF=AB-AF=1-x；进而得出CD，再根据等腰三角形及平行线的性质可证∠C=∠CED，得出上底DE根据点D保持在AC上，且D不与A重合，可知0＜AD≤1，从而求出自变量x的取值范围；
（2）由（1）知，y是x的二次函数，根据二次函数的性质，即可得到结论．

解答 解：（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵DE∥AB，
∴∠B=∠CED，∠AFD=∠FDE=90°，
∴∠C=∠CED，
∴DC=DE．（2分）
在Rt△ADF中，∵∠A=60°，
∴∠ADF=60°=∠A，
∴AF=x，
∴AD=$\frac{x}{cos60°}$=2x，DF=$\sqrt{3}$x，DM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DC=DE=1-2x，
∴y=$\frac{1}{2}$（DE+FB）×DF=$\frac{1}{2}$（1-2x+1-x）$\sqrt{3}$x=-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$x．
∵点D保持在AC上，且D不与A重合，
∴0＜AD≤1，
∴0＜$\frac{1}{2}$x≤1，
∴0＜x≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故y=-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$x，自变量x的取值范围是0＜x≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$；

（2）∵y=-$\frac{2}{3}$$\sqrt{3}$x²+$\sqrt{3}$x，
∴当x=$\frac{1}{3}$时，y有最大值是$\frac{\sqrt{3}}{6}$．

点评 本题考查了正方形、平行线的性质，等腰三角形的性质与判定，直角梯形的面积及二次函数的性质，综合性较强，难度中等．