Question

12．如图，在菱形ABCF中，∠ABC=60°，延长BA至点D，延长CB至点E，使BE=AD，连结CD，EA，延长EA交CD于点G．
（1）求证：△ACE≌△CBD；
（2）求∠CGE的度数．

Answer 1

分析 （1）先判断出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得BC=AC，∠ACB=∠ABC，再求出CE=BD，然后利用“边角边”证明即可；
（2）连接AC，易知△ABC是等边三角形，由探究可知△ACE和△CBD全等，根据全等三角形对应角相等可得∠E=∠D，然后根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠CGE=∠ABC即可．

解答 解：（1）∵AB=AC，∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴BC=AC，∠ACB=∠ABC，
∵BE=AD，
∴BE+BC=AD+AB，
即CE=BD，
在△ACE和△CBD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CE=BD}\\{∠ACB=∠ABC}\\{BC=AC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△CBD（SAS）；

（2）如图，连接AC，易知△ABC是等边三角形，
由（1）可知△ACE≌△CBD，
∴∠E=∠D，
∵∠BAE=∠DAG，
∴∠E+∠BAE=∠D+∠DAG，
∴∠CGE=∠ABC，
∵∠ABC=60°，
∴∠CGE=60°．

点评 本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，菱形的性质，熟记性质并确定出三角形全等的条件是解题的关键，（2）作辅助线构造出探究的条件是解题的关键．