Question

2．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，O为AC上一点，OC=3，以O为圆心，OC为半径作圆．
（1）如图①，求证：AB是⊙O的切线；
（2）如图②，若⊙O与AB交于点D，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）作OD⊥AB于D，如图①，先根据勾股定理计算出AB=10，再证明Rt△AOD∽Rt△ABC，利用相似比计算出OD=3，由于OD等于半径OC，于是根据切线的判定定理即可得到AB是⊙O的切线；
（2）作DH⊥AC于H，如图②，先利用切线长定理得到BD=BC=6，则AD=4，再证明△AHD∽△ACB，则根据相似三角形的性质得$\frac{AH}{8}$=$\frac{DH}{6}$=$\frac{4}{10}$，于是可利用比例性质计算出AH=$\frac{16}{5}$，DH=$\frac{12}{5}$，所以CH=$\frac{24}{5}$，然后在Rt△CDH中利用勾股定理计算CD．

解答 （1）证明：作OD⊥AB于D，如图①，
在Rt△ACB中，∵AC=8，BC=6，
∴AB=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵∠OAD=∠BAC，
∴Rt△AOD∽Rt△ABC，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AO}{AB}$，即$\frac{OD}{6}$=$\frac{8-3}{10}$，
∴OD=3，
∴OD=OC，
∴AB是⊙O的切线；
（2）解：作DH⊥AC于H，如图②，
∵AC⊥BC，
∴BC是⊙O的切线，
而AB是⊙O的切线，
∴BD=BC=6，
∴AD=AB-BC=4，
∵DH∥BC，
∴△AHD∽△ACB，
∴$\frac{AH}{AC}$=$\frac{DH}{BC}$=$\frac{AD}{AB}$，即$\frac{AH}{8}$=$\frac{DH}{6}$=$\frac{4}{10}$，
∴AH=$\frac{16}{5}$，DH=$\frac{12}{5}$，
∴CH=AC-AH=8-$\frac{16}{5}$=$\frac{24}{5}$，
在Rt△CDH中，CD=$\sqrt{C{H}^{2}+D{H}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{24}{5}）^{2}+（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{12\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．在判定一条直线为圆的切线时，当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时，常过圆心作该直线的垂线段，证明该线段的长等于半径．也考查了勾股定理和相似三角形的判定与性质．