Question

7．在数学活动中，我们已经学习了四点共圆的条件：如果一个四边形对角互补，那么这个四边形的四个顶点在同一个圆上，简称“四点共圆”．如图，已知四边形ABCD，AD=4，CD=3，AC=5，cos∠BCA=sin∠BAC=$\frac{1}{2}$，求∠BDC的大小．

Answer 1

分析 先利用勾股定理的逆命题得到∠ADC=90°，再根据特殊角的三角函数值得到∠BCA=60°，∠BAC=30°，则∠ABC=90°，根据新定义得到四边形ABCD的四个点在以AC为直径的圆上，然后根据圆周角定理即可得到∠BDC=∠BAC=30°．

解答 解：∵AD=4，CD=3，AC=5，
∴AD²+CD²=AC²，
∴△ADC为直角三角形，∠ADC=90°，
∵cos∠BCA=sin∠BAC=$\frac{1}{2}$，
∴∠BCA=60°，∠BAC=30°，
∴∠ABC=180°-60°-30°=90°，
∴四边形ABCD的四个点在以AC为直径的圆上，
∴∠BDC=∠BAC=30°．

点评 本题考查了圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．也考查了解直角三角形和圆周角定理．