Question

2．设x_i（i=1，2，3，…，n）为任意代数式，我们规定：y=max{x₁，x₂，…，x_n}表示x₁，x₂，…，x_n中的最大值，如y=max{1，2}=2．
（1）求y=max{x，3}；
（2）借助函数图象，解不等式max{x+1，$\frac{1}{x}$}≥2；
（3）若y=max{|1-x|，$\frac{1}{2}$x+a，x²-4x+3}的最小值为1，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）根据规定，分x≥3和x＜3两种情况求解；
（2）①画出函数y=x+1和y=$\frac{1}{x}$的图象，然后根据图象和规定写出不等式的解集即可；
②画出函数y=|x-1|，y=x²-4x+3的图象，可知最小值为y=$\frac{1}{2}$x+a与抛物线的交点，令y=1根据抛物线解析式求出x的值，再代入直线解析式求出a的值即可．

解答 解：（1）y=$\left\{\begin{array}{l}{x（x≥3）}\\{3（x＜3）}\end{array}\right.$；
（2）①由图可知，不等式式max{x+1，$\frac{1}{x}$}≥2的解集为0$＜x≤\frac{1}{2}$或x≥1；

②由图可知，最小值为y=$\frac{1}{2}$x+a与抛物线y=x²-4x+3的交点，

∴x²-4x+3=1，
解得x₁=2-$\sqrt{2}$，x₂=2+$\sqrt{2}$（舍去），
∴$\frac{1}{2}$×（2-$\sqrt{2}$）+a=1，
解得a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，一次函数的性质，反比例函数的性质，以及作函数图象，读懂题目信息，理解y=max{x₁，x₂，x₃，…，x_n}的意义是解题的关键．