题目内容
16．下列说法：①若关于x的方程x2-（a-3）x-3a-b2=0有两个相等的实数根，则关于的方程x2+ax+b=0的两根分别是x1=0，x2=3；
②若b=2a+c，则一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；
③若m、n（m＜n）是关于x的方程1-（x-a）（x-b）=0的两根，且a＜b，则a，b，m，n的大小关系是m＜a＜b＜n，
其中正确的有（ ）
| A． | ①② | B． | ①③ | C． | ②③ | D． | ①②③ |
分析 ①根据根的判别式求得a=-3，b=0，把a=-3，b=0代入x2+ax+b=0得：x2-3x=0，解得x1=0，x2=3；故①正确；
②根据根的判别式求得4a2+c2＞0，于是得到一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；故②正确；
③方程变形为（x-a）（x-b）=1，利用二次函数与异次函数图象解决问题：二次函数y=（x-a）（x-b）与x轴两个交点坐标为（a，0），（b，0），且直线y=1与抛物线y=（x-a）（x-b）的交点的横坐标分别为m与n，于是可得到则a、b、m、n的大小关系．
解答 解：①∵关于x的方程x2-（a-3）x-3a-b2=0有两个相等的实数根，
∴△=[-（a-3）]2-4（-3a-b2）=（a+3）2+4b2=0，
∴a=-3，b=0，
把a=-3，b=0代入x2+ax+b=0得：x2-3x=0，
解得：x1=0，x2=3；故①正确；
②∵△=b2-4ac，b=2a+c，
∴△=（2a+c）2-4ac=4a2+c2，
∵a≠0，
∴4a2+c2＞0，
∴一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不相等的实数根；故②正确；
③如图，∵1-（x-a）（x-b）=0，
∴（x-a）（x-b）=1，
∵二次函数y=（x-a）（x-b）与x轴两个交点坐标为（a，0），（b，0），
则直线y=1与抛物线y=（x-a）（x-b）的交点的横坐标分别为m与n，
∴m＜a＜b＜n，故③正确．
故选D．
点评 本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的两根时，x1+x2=-$\frac{b}{a}$，x1x2=$\frac{c}{a}$．也考查了图象法解决数学问题．
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