已知:l1∥l2∥l3∥l4.点E是l1上的一点.过点E作EH⊥l1.分别与l2.l3.l4交于点F.G.H.EF=GH=1.FG=3.将四边形ABCD放在平行线中.使其四个顶点分别落在直线l1.l2.l3.l4上．(1)如图1.若四边形ABCD是正方形.且点D与点G重合.则正方形ABCD的面积为17．(2)如图2.若四边形ABCD是矩形.且点D与点G重合.AD=2CD.求矩形ABCD� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

15．已知：l₁∥l₂∥l₃∥l₄，点E是l₁上的一点，过点E作EH⊥l₁，分别与l₂、l₃、l₄交于点F、G、H，EF=GH=1，FG=3，将四边形ABCD放在平行线中，使其四个顶点分别落在直线l₁、l₂、l₃、l₄上．
（1）如图1，若四边形ABCD是正方形，且点D与点G重合，则正方形ABCD的面积为17．
（2）如图2，若四边形ABCD是矩形，且点D与点G重合，AD=2CD，求矩形ABCD的面积；
（3）如图3，若四边形ABCD是菱形，且点A与点E重合，BD的延长线刚好经过点H，求菱形ABCD的面积．

分析（1）利用已知得出△AED≌△DHC（AAS），即可得出正方形的边长；
（2）根据已知条件得到EH⊥l₄，根据矩形的性质得到∠ADC=90°．根据余角的性质得到∠CDH=∠EAD．推出△ADE∽△DCH，根据相似三角形的性质得到$\frac{AE}{HD}=\frac{AD}{CD}$，求得AE=2HD=2，根据勾股定理得到AD=2$\sqrt{5}$．得到CD=$\sqrt{5}$，即可得到结论；
（3）根据菱形的性质得到AD=CD，AC⊥BD，BD=2OD，∠ADB=∠CDB．根据全等三角形的性质得到CH=AH=5，∠DHA=∠DHC=45°．根据勾股定理得到AC=5$\sqrt{2}$，解直角三角形得到DH=$\sqrt{2}$，OH=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，根据菱形的面积公式即可得到结论．

解答解：（1）如图1，由题意可得：∠1+∠3=90°，∠1+∠2=90°，
∴∠2=∠3，
在△AED和△DHC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AEF=∠DHC=90°}\\{∠3=∠2}\\{AD=CD}\end{array}\right.$，
∴△AED≌△DHC（AAS），
∴AE=HD=1，
又∵DE=1+3=4，
∴正方形ABCD的边长=$\sqrt{{1}^{2}+{4}^{2}}$=$\sqrt{17}$，
∴正方形ABCD的面积=17，
故答案为：17；

（2）∵l₁∥l₄，EH⊥l₁，
∴EH⊥l₄，
∴∠AEG=∠GHC=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ADC=90°．
∴∠ADE+∠CDH=90°，
∵∠ADE+∠EAD=90°
∴∠CDH=∠EAD．
又∵∠AEG=∠GHC，
∴△ADE∽△DCH，
∴$\frac{AE}{HD}=\frac{AD}{CD}$，
∵AD=2CD，
∴AE=2HD=2，
在△ADE中，∠AED=90°，AE=2，ED=4，
∴AD=2$\sqrt{5}$，
∴CD=$\sqrt{5}$，
∴矩形ABCD的面积为2$\sqrt{5}$×$\sqrt{5}$=10；

（3）如图3，连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，AC⊥BD，BD=2OD，∠ADB=∠CDB，
∴∠ADH=∠CDH，
在△ADH与△CDH中$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADH=∠CDH}\\{DH=DH}\end{array}\right.$，
∴△ADH≌△CDH，
∴CH=AH=5，∠DHA=∠DHC=45°，
在Rt△ACH中，∠AHC=90°，
∴AC=5$\sqrt{2}$，
∵l₁∥l₃，EH⊥l₁，
∴EH⊥l₃，
∴∠DGH=90°，
在Rt△DGH中，GH=1，∠DHG=45°，
∴DH=$\sqrt{2}$，
在Rt△COH中，∠COH=90°，∠OHC=45°，CH=5，
∴OH=$\frac{5}{2}$$\sqrt{2}$，
∴OD=$\frac{3}{2}$$\sqrt{2}$，
∴BD=3$\sqrt{2}$，
∴菱形ABCD的面积=$\frac{1}{2}$×5$\sqrt{2}$×3$\sqrt{2}$=15．