Question

15．如图1是一架菱形风筝，它的骨架由如图2的4条竹棒AC，BD，EF，GH组成，其中E，F，G，H分别是菱形ABCD四边的中点，现有一根长为80cm的竹棒，正好锯成风筝的四条件架，是BD=xcm，菱形ABCD的面积为ycm²．
（1）写出y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；
（2）如图3，在所给的直角坐标系中画出（1）中的函数图象；
（3）为了使风筝在空中有较好的稳定性，骨架AC长度必须大于骨架BD长度且小于BD长度的两倍，现已知菱形ABCD的面积为375cm²，则骨架BD和AC的长为多少？

Answer 1

分析 （1）根据中位线定理可得EF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$x，由菱形的面积=对角线乘积的一半可列函数解析式；
（2）根据（1）中函数解析式及自变量的范围画函数图象即可；
（3）根据菱形ABCD的面积为375cm²，即y=375，求出x的值，结合骨架AC长度必须大于骨架BD长度且小于BD长度的两倍确定x的值可得．

解答 解：（1）∵E、F为AB、AD中点，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=$\frac{1}{2}$x，
∵四边形ABCD是菱形，
∴y=$\frac{1}{2}$x（80-2x）=-x²+40x，
自变量x的取值范围是：0＜x＜40；
（2）函数图象如下：

（3）∵y=-（x-20）²+400=375，
∴（x-20）²=25，
解得：x=25或x=15，
∵AC的长度必须大于BD的长度且小于BD长度的2倍，
∴x=25，
即BD=25cm，AC=30cm．

点评 本题主要考查二次函数的实际应用能力，根据菱形面积公式列出函数关系式是前提和根本，结合题意列出方程根据长度间关系取舍是关键．