Question

10．某企业接到一批茶杯生产任务，按要求在15天内完成，预定这批茶杯的出厂价为每个6元，为按时完成任务，该企业招收了新工人，设新工人小王第x天生产的茶杯数量为y个，y与x满足如下关系：y=$\left\{\begin{array}{l}{54x（0≤x≤5）}\\{30x+120（5＜x≤15）}\end{array}\right.$．
（1）小王第几天生产的茶杯数量为420个？
（2）如图，设第x天每个茶杯成本为P元，P与x之间的关系可用图中的函数图象来表示，若小王第x天创造的利润为W元，求W关于x的函数表达式，并求出第几天的利润最大，最大利润是多少元？（利润=出厂价-成本）

Answer 1

分析 （1）根据y=420，求出自变量x的值即可．
（2）分三个区间求W：①当0＜x≤5，②当5＜x≤9．③当9＜x≤15，分别根据利润=出厂价-成本计算即可．然后利用函数的性质确定最大值．

解答 解：（1）由题意30x+120=420，解得x=10，所以小王第10天生产的茶杯数量为420个．
（2）当0＜x≤5时，W=6×54x-4.1×54x=102.6x，
当5＜x≤9时，W=6（30x+120）-4.1（30x+120）=57x+158．
当9＜x≤15时，设P=kx+b，由题意得$\left\{\begin{array}{l}{9k+b=4.1}\\{15k+b=4.7}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=0.1}\\{b=3.2}\end{array}\right.$，则p=0.1x+3.2，
则W=（30x+120）（6-0.1x-3.2）=-3x²+72x+336．
综上所述W=$\left\{\begin{array}{l}{102.6x}&{（0＜x≤5）}\\{57x+158}&{（5＜x≤9）}\\{-3{x}^{2}+72x+336}&{（9＜x≤15）}\end{array}\right.$，
∵x=5时，W=513，
x=9时，W=671，
W=-3x²+72x+336=-3（x-12）²+768，
∴x=12时，W最大值=768．
∴第12天利润最大，最大利润为768元．

点评 本题考查一次函数的应用、二次函数的应用，解题的关键是理解题意，记住利润=出厂价-成本，学会利用函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型．