Question

9．如图，直角△ABC内接于⊙O，∠C=90°，点P在弧AB上移动，P，C分别位于AB的异侧（P不与A，B重合），△PCD也为直角三角形，∠PCD=90°，且直角△PCD的斜边PD经过点B，BA，PC相交于点E．
（1）当BA平分∠PBC时，求$\frac{BE}{CD}$的值；
（2）已知：AC=1，BC=2，求△PCD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据圆周角定理得到∠PBA=∠CBA=∠ACP，证得∠BCD=∠CBA，根据平行线的性质得到∠BCD=∠BDC，根据等腰直角三角形的性质得到BC=BD，根据直角三角形的性质得到PB=BC，推出BE是△PCD的中位线，于是得到结论；
（2）根据相似三角形的性质得到$\frac{PC}{CD}=\frac{AC}{CB}=\frac{1}{2}$，由三角形的面积公式得到S_△PCD=$\frac{1}{2}$PC•CD=$\frac{1}{2}$PC•2PC=PC²，当CP最大时，△PCD的面积最大，即PC为⊙O的直径时，△PCD的面积最大，即可得到结论．

解答 解：（1）连接PA，
∴∠PBA=∠CBA=∠ACP，
∵∠ACP=∠BCD，
∴∠BCD=∠CBA，
∴AB∥CD，
∴∠BCD=∠BDC，
∴BC=BD，
∵∠PCD=90°，
∴PB=BC，
∴BE是△PCD的中位线，
∴$\frac{BE}{CD}$=$\frac{1}{2}$；

（2）∵∠PCD=∠ACB=90°，∠ABC=∠D，
∴△ABC∽△PCD，
∴$\frac{PC}{CD}=\frac{AC}{CB}=\frac{1}{2}$，
∴S_△PCD=$\frac{1}{2}$PC•CD=$\frac{1}{2}$PC•2PC=PC²，
当CP最大时，△PCD的面积最大，
即PC为⊙O的直径时，△PCD的面积最大，
∴当CP=AB=$\sqrt{5}$时，△PCD的最大面积为（$\sqrt{5}$）²=5．

点评 本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的性质，直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，连接AP构造直角三角形是解题的关键．