Question

4．如图，在同一个平面直角坐标系xOy中，虚半圆O是函数y=$\sqrt{25-{x}^{2}}$（-5≤x≤5）的图象，实曲线（两支）是函数y=$\frac{k}{|x|}$（k≠0）的图象：已知方程$\sqrt{25-{x}^{2}}$=$\frac{k}{|x|}$（k≠0）有一个解为x=-3，则该方程其余的解为3、4、-4．

Answer 1

分析 将x=-3代入方程可求得k的值，然后将k的值代入方程，接下来，将方程两边同时平方，最后解关于x的分式方程即可．

解答 解：∵方程$\sqrt{25-{x}^{2}}$=$\frac{k}{|x|}$（k≠0）有一个解为x=-3，
∴$\sqrt{25-{（-3）}^{2}}$=$\frac{k}{|-3|}$，
解得k=12．
∴方程$\sqrt{25-{x}^{2}}$=$\frac{12}{|x|}$．
∴25-x²=$\frac{144}{{x}^{2}}$．
整理得：x⁴-25x²+144=0．
∴（x²-9）（x²-16）=0，即（x+3）（x-3）（x+4）（x-4）=0．
解得：x₁=-3，x₂=3，x₃=-4，x₄=4．
所以方程的其他解为3、4、-4．
故答案为：3、4、-4．

点评 本题主要考查函数与方程的关系，通过将方程两边同时平方，将原方程转化为分式方程求解是解题的关键．