Question

18．如图所示，已知OABC是一张放在平面直角坐标系中的矩形纸片，O为坐标原点，点A在x轴上，点C在y轴上，且OA=15，OC=9，在边AB上选取一点D，将△AOD沿OD翻折，使点A落在BC边上，记为点E．
（Ⅰ）求点E和点D的坐标；
（Ⅱ）在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使四边形MNED的周长最小？如果存在，求出点M、N的坐标及四边形MNED周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
（Ⅲ）设点P在x轴上，以点O、E、P为顶点的三角形是等腰三角形，请直接写出所有满足条件的点P的坐标．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由矩形的性质和勾股定理计算得到点D，E的坐标；
（Ⅱ）做出点D关于x轴的对称点D′，点E关于y轴的对称点E′，连接点D′E′交x，y轴于M，N求找到了周长最小的位置；
（Ⅲ）分四种情况分别根据各自的特点，进行简单的计算即可．

解答 解：（Ⅰ）依题意可OE=OA=15，AD=DE
在Rt△OCE中，CE=12，
∴E（12，9），
又∵BE=BC-CE=3，
在Rt△BED中，DE²=BE²+BD²，
即：DE²=BE²+（9-DE）²
∴DE=AD=5，
∴D（15，5）
（Ⅱ）存在                                         
如图，

作点D关于x轴的对称点D′（15，-5），E关于y轴的对称点E′（-12，9），
连接点D′E′，分别交x轴、y轴于点M、N，则点M、N即为所求，
设直线D′E′的解析式为y=kx+b，将D′（15，-5）、E′（-12，9）代入得k=-$\frac{14}{27}$，b=$\frac{25}{9}$
∴直线D′E′的解析式为 y=-$\frac{14}{27}$x+$\frac{25}{9}$  
令x=0，得y=$\frac{25}{9}$  
令y=0，得x=$\frac{75}{14}$
∴M（$\frac{75}{14}$，0）、N（0，$\frac{25}{9}$），
在Rt△BE′D′中，D′E′=5$\sqrt{37}$
∴四边形MNED周长最小值=DE+EN+MN+MD=5+5$\sqrt{37}$
（Ⅲ）当在x轴正半轴上，
OP₁=OE=15时，点P₁与A重合，
∴P₁（15，0），
当在x轴负半轴上时，OP₂=OE=15时，
P₂（-15，0），
如图，

当OE=EP₃时，作EH⊥OA，
∴OH=CE=HP₃=12，
∴P₃（24，0），
当OP₄=EP₄时，由勾股定理得，P₄H²+EH²=P₄E²，
∴（12-P₄E）²+81=P₄E²，
∴OP₄=EP₄=$\frac{75}{8}$，
∴P₄（$\frac{75}{8}$，0）．
满足条件的P点有四个，分别是P₁（15，0），P₂（-15，0），P₃（24，0），
P₄（$\frac{75}{8}$，0）．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，对折，勾股定理，待定系数法，轴对称，解本题的关键是勾股定理的灵活应用．