如图所示.直线AB交x轴于点A.且a.b满足a+b+(a-4)2=0．(1)如图1.若C的坐标为.且AH⊥BC于点H.AH交OB于点P.试求点P的坐标,(2)如图2.连接OH.求证:∠OHP=45°,(3)如图3.若点D为AB的中点.点M为y轴正半轴上一动点.连接MD.过D作DN⊥DM交x轴于N点.当M点在y轴正半轴上运动的过程中.式子S△BDM-S△ADN的值是否发生改变?如发生改� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

如图所示，直线AB交x轴于点A（a，0），交y轴于点B（0，b），且a、b满足

a+b

+(a-4)2=0．
（1）如图1，若C的坐标为（-1，0），且AH⊥BC于点H，AH交OB于点P，试求点P的坐标；
（2）如图2，连接OH，求证：∠OHP=45°；
（3）如图3，若点D为AB的中点，点M为y轴正半轴上一动点，连接MD，过D作DN⊥DM交x轴于N点，当M点在y轴正半轴上运动的过程中，式子S_△BDM-S_△ADN的值是否发生改变？如发生改变，求出该式子的值的变化范围；若不改变，求该式子的值．

考点：全等三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：综合题

分析：（1）要求点P的坐标，只需求出OP的长度，如图1，易证△OAP≌△OBC，即可得到OP=OC=1；
（2）要证∠OHP=45°，只需证明HO平分∠CHA，过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图2，只需证到OM=ON，只需证明△COM≌△PON即可；
（3）连接OD，如图3，易证△ODM≌△ADN，从而有S_△ODM=S_△ADN，由此可得S_△BDM-S_△ADN=S_△BDM-S_△ODM=S_△BOD=

S_△AOB=4．

解答： 解：（1）如图1，
∵

a+b

+(a-4)2=0，

∴a+b=0，a-4=0，
∴a=4，b=-4，
则OA=OB=4．
∵AH⊥BC即∠AHC=90°，∠COB=90°
∴∠HAC+∠ACH=∠OBC+∠OCB=90°，
∴∠HAC=∠OBC．
在△OAP与△OBC中，

∠COB=∠POA=90°

OA=OB

∠OAP=∠OBC

，
∴△OAP≌△OBC（ASA），
∴OP=OC=1，
则P（0，-1）；

（2）过O分别作OM⊥CB于M点，作ON⊥HA于N点，如图2．

在四边形OMHN中，∠MON=360°-3×90°=90°，
∴∠COM=∠PON=90°-∠MOP．
在△COM与△PON中，

∠COM=∠PON

∠OMC=∠ONP=90°

OC=OP

，
∴△COM≌△PON（AAS），
∴OM=ON．
∵OM⊥CB，ON⊥HA，
∴HO平分∠CHA，
∴∠OHP=

∠CHA=45°；

（3）S_△BDM-S_△ADN的值不发生改变，等于4．
理由如下：
连接OD，如图3．

∵∠AOB=90°，OA=OB，D为AB的中点，
∴OD⊥AB，∠BOD=∠AOD=45°，OD=DA=BD
∴∠OAD=45°，∠MOD=90°+45°=135°，
∴∠DAN=135°=∠MOD．
∵MD⊥ND即∠MDN=90°，
∴∠MDO=∠NDA=90°-∠MDA．
在△ODM与△ADN中，

∠MDO=∠NDA

∠DOM=∠DAN

OD=AD

，
∴△ODM≌△ADN（ASA），
∴S_△ODM=S_△ADN
∴S_△BDM-S_△ADN
=S_△BDM-S_△ODM
=S_△BOD
=

S_△AOB
=

AO•BO
=

×4×4
=4．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的判定、二次根式及完全平方式的非负性等知识，在解决第（3）小题的过程中还用到了等积变换，而运用全等三角形的性质则是解决本题的关键．