Question

15．如图，四边形ABCD中，已知∠A=∠C=30°，∠D=60°，AD=8，CD=10．
（1）求AB、BC的长；
（2）已知，半径为1的⊙P在四边形ABCD的外面沿各边滚动（无滑动）一周，求⊙P在整个滚动过程中所覆盖部分图形的面积．

Answer 1

分析 （1）延长AB交CD于E，先求出∠AED=90°，得出∠CEB=90°，运用三角函数得出DE、AE，求出CE，即可得出BC、BE、AB；
（2）根据题意得出：∠1=120°，∠2=∠3=150°，∠4=∠5=60°，HF=HG=2，运用三角函数得出BF=BG=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，⊙P在整个滚动过程中所覆盖部分图形的面积=4个矩形的面积+2个三角形的面积+3个扇形的面积，即可得出结果．

解答 解：（1）延长AB交CD于E，如图1所示：
则∠AED=180°-∠A-∠D=180°-30°-60°=90°，
∴∠CEB=90°，
∴DE=$\frac{1}{2}$AD=4，AE=AD•sin60°=8×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=4$\sqrt{3}$，
∴CE=CD-DE=6，
∴BC=$\frac{CE}{cos30°}$=$\frac{6}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴BE=$\frac{1}{2}$BC=2$\sqrt{3}$，
∴AB=AE-BE=$2\sqrt{3}$；
（2）半径为1的⊙P在四边形ABCD的外面沿各边滚动（无滑动）一周，如图2所示：
根据题意得：∠1=120°，∠2=∠3=150°，∠4=∠5=60°，HF=HG=2，
∴BF=BG=$\frac{HF}{tan60°}$=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∴CF=4$\sqrt{3}$-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{10\sqrt{3}}{3}$，AG=2$\sqrt{3}$+$\frac{2\sqrt{3}}{3}$=$\frac{4\sqrt{3}}{3}$，
∴⊙P在整个滚动过程中所覆盖部分图形的面积
=8×2+10×2+$\frac{10\sqrt{3}}{3}$×2+$\frac{4\sqrt{3}}{3}$×2+$\frac{1}{2}$×$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×2×2+$\frac{120+150+150}{360}π×{2}^{2}$
=36+$\frac{32\sqrt{3}}{3}$$+\frac{14π}{3}$．

点评 本题是圆的综合题目，考查了直角三角形的判定、三角函数、扇形面积、矩形面积以及三角形面积的计算等知识；本题有一定难度，综合性强，特别是（2）中，得出⊙P在整个滚动过程中所覆盖部分图形的面积=4个矩形的面积+2个三角形的面积+3个扇形的面积是解决问题的关键．