Question

7．如图，已知△ABC
（1）用直尺和圆规作出⊙O，使⊙O经过A，C两点，且圆心O在AB上（不写作法，保留作图痕迹）
（2）若AB=$\sqrt{2}$，BC=2-$\sqrt{2}$，∠B=45°，求出（1）中⊙O的半径R的值．

Answer 1

分析 （1）作AC的垂直平分线，则此垂直平分线与AB的交点为O，然后以O点为圆心，OA为半径作⊙O即可；
（2）作CH⊥AB于H，连结OC，先判断△BCH为等腰直角三角形，则BH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\sqrt{2}$-1，所以AH=AB-BH=1，OH=AH-OA=1-R，然后在Rt△OCH中根据勾股定理得到（1-R）²+（$\sqrt{2}$-1）²=R²，再解方程即可．

解答 解：（1）如图，⊙为所求；

（2）作CH⊥AB于H，连结OC，如图，

在Rt△BCH中，∵∠B=45°，
∴△BCH为等腰直角三角形，
∴BH=CH=$\frac{\sqrt{2}}{2}$BC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$×（2-$\sqrt{2}$）=$\sqrt{2}$-1，
∴AH=AB-BH=$\sqrt{2}$-（$\sqrt{2}$-1）=1，
∴OH=AH-OA=1-R，
在Rt△OCH中，∵OH²+CH²=OC²，
∴（1-R）²+（$\sqrt{2}$-1）²=R²，
∴R=2-$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．