Question

11．如图，抛物线y=-x²+bx+c与x轴交于AB两点（A在B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），抛物线的顶点在第一象限，AB=4．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若过点P（0，4）的直线（不与x轴，y轴平行）与抛物线只有一个交点，求该直线的解析式．

Answer 1

分析 （1）设A（t，0），则B（t+4，0），则得到交点式y=-（x-t）（x-t-4），然后把C点坐标代入求出t即可得到抛物线解析式；
（2）设过P点的直线解析式为y=kx+4，由直线y=kx+4与抛物线只有一个交点得到方程-x²+2x+3=kx+4有相等的实数解，然后利用判别式的意义求出k的值即可．

解答 解：（1）设A（t，0），则B（t+4，0），
设抛物线解析式为y=-（x-t）（x-t-4），
把C（0，3）代入得-（-t）•（-t-4）=3，
整理得t²+4t+3=0，解得t₁=-1，t₂=-3（舍去），
所以抛物线解析式为y=-（x+1）（x-3），即y=-x²+2x+3；
（2）设过P点的直线解析式为y=kx+4，
因为直线y=kx+4与抛物线只有一个交点，
所以方程-x²+2x+3=kx+4有相等的实数解，
方程整理为x²+（k-2）x+1=0，
则△=（k-2）²-4=0，解得k=0（舍去）或k=4，
所以该直线的解析式为y=4x+4．

点评 本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax²+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．解决（2）小题的关键是利用判别式的意义判断直线与抛物线的交点个数．