Question

18．如图，在菱形ABCD中，F为对角线BD上一点，点E为AB延长线上一点，DF=BE，CE=CF．求证：
（1）△CFD≌△CEB；
（2）∠CFE=60°．

Answer 1

分析 （1）根据菱形的性质得出CD=CB，又DF=BE，CF=CE，根据SSS即可证明△CFD≌△CEB；
（2）根据全等三角形、菱形的性质得出∠ABD=∠CBD=∠CDB=∠CBE，由平角的定义求出∠ABD=∠CBD=∠CBE=60°，再证明∠FCE=60°，那么由CF=CE，
得出△CFE是等边三角形，于是∠CFE=60°．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是菱形，
∴CD=CB．
在△CFD和△CEB中，
$\left\{\begin{array}{l}{CD=CB}\\{CF=CE}\\{DF=BE}\end{array}\right.$，
∴△CFD≌△CEB（SSS）；

（2）解：∵△CFD≌△CEB，
∴∠CDB=∠CBE，∠DCF=∠BCE．
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠CBD=∠ABD．
∵CD=CB，
∴∠CDB=∠CBD，
∴∠ABD=∠CBD=∠CBE=60°．
∴∠DCB=60°．
∵∠FCE=60°，
∵CF=CE，
∴∠CFE=∠CEF=60°．

点评 本题考查了菱形的性质：①菱形具有平行四边形的一切性质；②菱形的四条边都相等；③菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；④菱形是轴对称图形，它有2条对称轴，分别是两条对角线所在直线．也考查了全等三角形、等边三角形的判定与性质．