Question

17．如图，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，点E、F分别是OA、OD的中点，如果$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{BO}$=$\overrightarrow{b}$，那么$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$．

Answer 1

分析 根据平行四边形法则表示出$\overrightarrow{BC}$，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半求解即可．

解答 解：由向量的平行四边形法则得，$\overrightarrow{BA}$+$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BO}$，
所以，$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{BO}$-$\overrightarrow{BA}$，
∵$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{BA}$=-$\overrightarrow{a}$，
∴$\overrightarrow{BC}$=2$\overrightarrow{b}$+$\overrightarrow{a}$，
∵点E、F分别是OA、OD的中点，
∴EF∥AD且EF=$\frac{1}{2}$AD，
∴EF∥BC且EF=$\frac{1}{2}$BC，
∴$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{BC}$，
∴$\overrightarrow{EF}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$．
故答案为：$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow{b}$．

点评 本题考查了平面向量，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半，向量的问题，熟练掌握平行四边形法则和三角形法则是解题的关键，要注意方向．