Question

16．先阅读下面的内容，再解决问题，
例题：若m²+2mn+2n²-6n+9=0，求m和n的值．
解：∵m²+2mn+2n²-6n+9=0
∴m²+2mn+n²-6n+9=0
∴（m+n）²+（n-3）²=0
∴m+n=0，n-3=0
∴m=-3，n=3
问题：
（1）若△ABC的三边长a，b，c都是正整数，且满足a²+b²-6a-6b+18+|3-c|=0，请问△ABC是什么形状？
（2）已知a，b，c是△ABC的三边长，c是△ABC的最短边且满足a²+b²=12a+8b-52，求c的范围．

Answer 1

分析 （1）先把a²+b²-6a-6b+18+|3-c|=0，配方得到（a-3）²+（b-3）²+|3-c|=0，根据非负数的性质得到a=b=c=3，得出三角形的形状即可；
（2）先根据完全平方公式配方，然后根据非负数的性质列式求出a、b的值，再根据三角形的任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出c的取值范围，再根据c是整数求出c的值

解答 解：（1）∵a²+b²-6a-6b+18+|3-c|=0，
∴a²-6a+9+b²-6b+9+|3-c|=0，
∴（a-3）²+（b-3）²+|3-c|=0，
∴a=b=c=3，
∴△ABC是等边三角形．
（2）∵a²+b²=12a+8b-52，
∴a²-12a+36+b²-8b+16=0，
∴（a-6）²+（b-4）²=0，
∴a=6，b=4，
∴2＜c＜10，
∵c是最短边，
∴2＜c≤4．

点评 此题考查了配方法的应用：通过配方，把已知条件变形为几个非负数的和的形式，然后利用非负数的性质得到几个等量关系，建立方程求得数值解决问题．