Question

6．如图，?ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=$\sqrt{5}$．对角线AC，BD相交于点O，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交BC，AD于点E，F．
（1）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；
（2）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不能，请说明理由；
如果能，请直接写出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的对边平行可得AD∥BC，对角线互相平分可得OA=OC，再根据两直线平行，内错角相等求出∠OAF=∠OCE，然后利用“角边角”证明△AOF和△COE全等，根据全等三角形对应边相等即可得到AF=CE；
（2）四边形BEDF是菱形可得EF⊥BD，根据勾股定理列式求出AC=2，再根据平行四边形的对角线互相平分求出AO=1，然后求出∠AOB=45°，再根据旋转的定义求出旋转角即可．

解答 解：（1）在?ABCD中，AD∥BC，OA=OC，
∴∠OAF=∠OCE，
在△AOF和△COE中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OAF=∠OCE}\\{OA=OC}\\{∠AOF=∠EOC}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COE（ASA），
∴AF=CE；

（2）若四边形BEDF是菱形，则BD⊥EF．
∴在△ABC中，∠BAC=90°，
∴BC²=AB²+AC²，
∵AB=1，BC=$\sqrt{5}$，
∴AC=$\sqrt{B{C}^{2}-A{B}^{2}}$=2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{1}{2}$×2=1，
∵在△AOB中，AB=AO=1，∠BAO=90°，
∴∠AOB=45°，
∵EF⊥BD，
∴∠BOF=90°，
∴∠AOF=∠BOF-∠AOB=90°-45°=45°，
即：旋转角为45°．

点评 本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，菱形的性质，综合题，但难度不大，熟练掌握平行四边形，菱形的性质是解题的关键．