Question

6．如图，平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）图象相交于A、B两点．
（1）根据图象分别求出反比例函数与一次函数的解析式；
（2）根据图象：当x为何值时，一次函数值大于反比例函数值；
（3）在反比例函数图象取点C（$\frac{1}{2}$，2），求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）将点A、B代入一次函数y=kx+b与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（m≠0）可得出m，k、b，从而得出两个解析式．
（2）根据图象可直接得出x的取值范围；
（3）过C、A作y轴的平行线交过B平行于x轴的直线于D、E，则CD⊥BE，AE⊥BE，然后根据S_△ABC=S_△BCD+S_梯形AEDC-S_△ABE即可求得．

解答 解：（1）由图象可知A（2，$\frac{1}{2}$），B（-1，-1），
把A（2，$\frac{1}{2}$）代入y=$\frac{m}{x}$，得m=1，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{1}{x}$，
把A（2，$\frac{1}{2}$），B（-1，-1）两点代入y=kx+b，
得$\left\{\begin{array}{l}{2k+b=\frac{1}{2}}\\{-k+b=-1}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$．
故一次函数的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-$\frac{1}{2}$；
（2）由图象可知：当x＞2或-1＜x＜0时，一次函数值大于反比例函数值．
（3）如图，过C、A作y轴的平行线交过B平行于x轴的直线于D、E，则CD⊥BE，AE⊥BE，
∵A（2，$\frac{1}{2}$），B（-1，-1），C（$\frac{1}{2}$，2），
∴BD=1+$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，CD=2+1=3，AE=$\frac{1}{2}$+1=$\frac{3}{2}$，DE=2-$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，BE=1+2=3，
∴S_△ABC=S_△BCD+S_梯形AEDC-S_△ABE=$\frac{1}{2}$BD•CD+$\frac{1}{2}$（CD+AE）DE-$\frac{1}{2}$BE•AE=$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×3+$\frac{1}{2}$（3+$\frac{3}{2}$）×$\frac{3}{2}$-$\frac{1}{2}$×$\frac{3}{2}$×3=$\frac{27}{8}$．

点评 本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，用待定系数法确定函数的解析式，是常用的一种解题方法．同学们要熟练掌握这种方法．这里体现了数形结合的思想．