Question

如图，在直角梯形ABCD中，AD=2，AB=4，BC=5，按图中所示的方法截取矩形BEFN（阴影部分），点F在边CD上（不包括C、D），设矩形两边长分别为x、y．
（1）求y与x之间的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围．
（2）当矩形面积为8时，求x、y的值．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,一元二次方程的应用,直角梯形

专题：

分析：（1）延长BA、CD交于O，证△OAD∽△OBC，得出

OA

OB

=

AD

BC

，求出OA=

8

3

，证△ONF∽△OBC，得出

8 3 +4-x

8 3 +4

=

y

5

，即可得出答案；
（2）根据矩形面积得出方程（5-

3

4

x）x=8，求出即可．

解答：解：（1）延长BA、CD交于O，
∵AD∥BC，
∴△OAD∽△OBC，
∴

OA

OB

=

AD

BC

，
∴

OA

OA+4

=

2

5

，
解得：OA=

8

3

，
∵四边形BNFE是矩形，
∴BN=EF=x，NF=BE=y，NF∥BC，
∴△ONF∽△OBC，
∴

ON

OB

=

NF

BC

，
∴

8 3 +4-x

8 3 +4

=

y

5

，
y=5-

3

4

x（0＜x＜4）；

（2）∵矩形面积为8，
∴（5-

3

4

x）x=8，
解得：x=

8

3

，x₂=4，
y₁=3，y₂=2；
∵0＜x＜4，
∴x=4舍去，
即x=

8

3

，y=3．

点评：本题考查了矩形的性质，直角梯形，函数的应用，相似三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出y=5-

3

4

x，题目是一道比较好的题目，难度适中．