Question

如图，等腰△MBC中，MB=MC，点A、P分别在MB、BC、上，作∠APE=∠B．PE交CM于E．
（1）求证：

AP

PE

=

BP

CE

；
（2）若∠C=60°，BC=7，CE=3，AB=4，求△ABP的面积．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,等腰三角形的性质

专题：

分析：（1）利用等腰三角形的性质和已知条件开证明△APB∽△PEC，由相似三角形的性质：对应边的比值相等即可证明：

AP

PE

=

BP

CE

；
（2）设BP=x，则PC=7-x，由（1）中的相似三角形可得关于BP，EC，AB，PC的比例式，可求出BP的长，再根据等边三角形的性质和三角形的面积公式即可求出△ABP的面积．

解答：（1）证明：∵MB=MC，
∴∠B=∠C=∠APE，
∵∠APC=∠B+∠BAP，即∠APE+∠EPC=∠B+∠BAP，
∴∠BAP=∠PEC，
∴△APB∽△PEC，
∴

AP

PE

=

BP

CE

；
（2）∵△APB∽△PEC，
∴

BP

EC

=

AB

PC

，
设BP=x，则PC=7-x，
∵BC=7，CE=3，AB=4，
∴

x

3

=

4

7-x

，
整理得：x²-7x+12=0，
解得：x=3或4，
∵∠C=60°，MB=MC，
∴△MBC是等边三角形，
∵当AB=BP=4，
∴△ABP是等边三角形，
∴S_△ABP=

1

2

×4×2

3

=4

3

，
当BP=3，则△ABP的高为：4×sin60°=2

3

，
∴S_△ABP=

1

2

×3×2

3

=3

3

，
综上所述：△ABP的面积为：4

3

或3

3

．

点评：本题考查了相似三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质以及一元二次方程的运用，题目的综合性较强，难度中等．