题目内容

1．观察等式：①$\frac{1}{1×2}$=1-$\frac{1}{2}$；②$\frac{1}{2×3}$=$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$；③$\frac{1}{3×4}$=$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$；④$\frac{1}{4×5}$=$\frac{1}{4}$-$\frac{1}{5}$，…
（1）试用字母n的等式表示出你发现的规律，并证明该等式成立；
（2）$\frac{1}{1×2}$+$\frac{1}{2×3}$+$\frac{1}{3×4}$+…+$\frac{1}{2016×2017}$=$\frac{2016}{2017}$．（直接写出结果）

分析 （1）根据连续自然数积的倒数等于各自倒数的差得出第n个等式，利用分式的运算法则即可验证式子成立；
（2）将原式利用以上规律变形为1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$，两两相消即可得出答案．

解答 解：（1）由题意知，第n个等式为$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$，
∵右边=$\frac{n+1}{n（n+1）}$-$\frac{n}{n（n+1）}$=$\frac{n+1-n}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n（n+1）}$=左边，
∴$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$；

（2）原式=1-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{4}$+…+$\frac{1}{2016}$-$\frac{1}{2017}$=1-$\frac{1}{2017}$=$\frac{2016}{2017}$，
故答案为：$\frac{2016}{2017}$．

点评 本题主要考查数字的变化规律，根据题意得出连续自然数积的倒数等于各自倒数的差是解题的关键．

练习册系列答案
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