Question

1．如图，在△ABC，∠ACB=90°，AC=4，BC=3，O是AB上一点，AO：OB=2：5．
（1）如图（1），求点O到AC的距离：
（2）如图（2），若P是边AC上的一个动点，作PQ⊥OP交线段BC于点Q（点Q不与点B、C重合）．
①若△AOP∽△PCQ，求AP的长；
②设AP=x，CQ=y，求y关于x的函数解析式．并写出函数定义域；
③当△OPQ∽△CPQ时，求AP长．

Answer 1

分析 （1）首先作OD⊥AC，判断出OD∥BC，推得△AOD∽△ABC，即可判断出$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AO}{AB}$；然后根据AO：OB=2：5，求出OD的长度，即可求出点O到AC的距离是多少．
（2）①首先根据△AOP∽△PCQ，可得∠AOP=∠PCQ=90°，∠OAP=∠CPQ，所以PQ∥AB，据此推得$\frac{CP}{AC}=\frac{PQ}{AB}$；然后设AP=x，则CP=4-x，$\frac{4-x}{4}$=$\frac{PQ}{5}$，据此求出PQ的值，进而求出x的值是多少即可．
②首先作OD⊥AC，判断出OD∥BC，推得△AOD∽△ABC，求出AD、PD的长度各是多少；然后根据相似三角形判定的方法，判断出△POD∽QPC，即可推得$\frac{OD}{PC}$=$\frac{PD}{QC}$，据此求出y关于x的函数解析式．并写出函数定义域即可．
③根据题意，分两种情况：当OQ∥AC时；当PQ平分∠CQO时；然后根据相似三角形的性质，分类讨论，求出AP长是多少即可．

解答 解：（1）如图1，作OD⊥AC，，
∵∠ACB=90°，
∴BC⊥AC，
∵OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{OD}{BC}$=$\frac{AO}{AB}$，
又∵AO：OB=2：5，
∴$\frac{OD}{3}$=$\frac{2}{2+5}$=$\frac{2}{7}$，
解得OD=$\frac{6}{7}$，
即点O到AC的距离是$\frac{6}{7}$．

（2）①如图2，，
∵∠ACB=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=$\sqrt{{AC}^{2}{+BC}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}{+3}^{2}}$=5，
∵AO：OB=2：5，
∴AO=5×$\frac{2}{2+5}$=$\frac{10}{7}$；
∵△AOP∽△PCQ，
∴∠AOP=∠PCQ=90°，∠OAP=∠CPQ，
∴PQ∥AB，
∴$\frac{CP}{AC}=\frac{PQ}{AB}$，
设AP=x，则CP=4-x，
∴$\frac{4-x}{4}$=$\frac{PQ}{5}$，
解得PQ=5-1.25x，
∵∠OAP=∠CPQ，
∴cos∠OAP=cos∠CPQ，
∴$\frac{AO}{AP}=\frac{CP}{PQ}$，
∴$\frac{\frac{10}{7}}{x}=\frac{4-x}{5-1.25x}$，
解得x=$\frac{25}{14}$，
∴若△AOP∽△PCQ，AP的长是$\frac{25}{14}$．

②如图3，作OD⊥AC，，
∵OD⊥AC，BC⊥AC，
∴OD∥BC，
∴△AOD∽△ABC，
∴$\frac{AD}{AC}$=$\frac{AO}{AB}$，
又∵AO：OB=2：5，
∴$\frac{AD}{4}$=$\frac{2}{2+5}$=$\frac{2}{7}$，
解得AD=$\frac{8}{7}$，PD=x-$\frac{8}{7}$，
∵PQ⊥OP，
∴∠OPD+∠CPQ=90°，
又∵∠PQC+∠CPQ=90°，
∴∠OPD=∠PQC，
在△POD和QPC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠OPD=∠PQC}\\{∠PDO=∠QCP=90°}\end{array}\right.$
∴△POD∽QPC，
∴$\frac{OD}{PC}$=$\frac{PD}{QC}$，
∴$\frac{\frac{6}{7}}{4-x}=\frac{x-\frac{8}{7}}{y}$，
∴y=-$\frac{7}{6}$x²+6x-$\frac{16}{3}$（$\frac{8}{7}$＜x＜4）．

③如图4，当OQ∥AC时，△OPQ∽△CPQ，，
∵OQ∥AC，
∴$\frac{CQ}{BC}=\frac{AO}{AB}$，
∴$\frac{CQ}{3}=\frac{2}{2+5}=\frac{2}{7}$，
解得CQ=$\frac{6}{7}$，
∴$\frac{6}{7}$=-$\frac{7}{6}$AP²+6AP-$\frac{16}{3}$，
解得AP=$\frac{26}{7}$或$\frac{10}{7}$．

如图5，作PE⊥OQ于点E，，
当PQ平分∠CQO时，△OPQ∽△CPQ，
∵∠CQP=∠PQE，PC⊥BC，PE⊥OQ，
∴PC=PE，
∵∠POQ=∠CPQ，∠DOP=∠CPQ，
∴∠POQ=∠DOP，
又∵PD⊥OD，PE⊥OE，
∴PD=PE，
∴PC=PD，
即点P为CD的中点，
由AP-AD=AC-AP，
可得AP-$\frac{8}{7}$=4-AP，
解得AP=$\frac{18}{7}$，
综上，可得
当△OPQ∽△CPQ时，AP=$\frac{26}{7}$、$\frac{10}{7}$或$\frac{18}{7}$．

点评 （1）此题主要考查了三角形相似的判定和性质的应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①三边法：三组对应边的比相等的两个三角形相似；②两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似；③两角法：有两组角对应相等的两个三角形相似．
（2）此题还考查了考查了分析推理能力，考查了分类讨论思想的应用，考查了数形结合思想的应用，要熟练掌握．