Question

11．在直角坐标系xOy中，已知点P是反比例函数y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$（x＞0）图象上一个动点，以P为圆心的圆始终与y轴相切，设切点为A．

（1）如图1，⊙P运动到与x轴相切，设切点为K，试判断四边形OKPA的形状，并说明理由．
（2）如图2，⊙P运动到与x轴相交，设交点为B，C．当四边形ABCP是菱形时：
①求出点A，B，C的坐标．
②在P点右侧的反比例函数y=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$（x＞0）图象是否存在上点M，使△MBP的面积等于菱形ABCP面积？若存在，试求出满足条件的M点的坐标；若不存在，试说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据AP、PK是圆的半径可得出AP=PK，再由PA⊥y轴，PK⊥x轴，∠AOK=90°可得出结论；
（2））①连接PB，设点P（x，$\frac{2\sqrt{3}}{x}$），过点P作PG⊥BC于G，则半径PB=PC，由菱形的性质得PC=BC，可知△PBC为等边三角形，在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$，利用sin∠PBG=$\frac{PG}{PB}$，列方程求x即可；
②先根据菱形的性质得出P点坐标，再由待定系数法求出直线BP的解析式，设出M点的坐标，根据△MBP的面积等于菱形ABCP面积得出m的值，进而可得出点M的坐标．

解答 解：（1）四边形OKPA是正方形．
理由：∵AP、PK是圆的半径可，
∴AP=PK．
∵PA⊥y轴，PK⊥x轴，
∴∠PAO=∠PKO=90°．
∵∠AOK=90°，
∴四边形OKPA是正方形；

（2）①连接PB，设点P的横坐标为x，则其纵坐标为$\frac{2\sqrt{3}}{x}$．
过点P作PG⊥BC于G．
∵四边形ABCP为菱形，
∴BC=PA=PB=PC（半径）．
∴△PBC为等边三角形．
在Rt△PBG中，∠PBG=60°，PB=PA=x，PG=$\frac{2\sqrt{3}}{x}$．
sin∠PBG=$\frac{PG}{PB}$，即$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\frac{2\sqrt{3}}{x}}{x}$．
解之得：x=±2（负值舍去）．
∴PG=$\sqrt{3}$，PA=BC=2．
易知四边形OGPA是矩形，PA=OG=2，BG=CG=1，
∴OB=OG-BG=1，OC=OG+GC=3．
∴A（0，$\sqrt{3}$），B（1，0），C（3，0）．
②∵A（0，$\sqrt{3}$），B（1，0），C（3，0），
∴P（2，$\sqrt{3}$）．
设直线BP的解析式为y=kx+b（k≠0），则$\left\{\begin{array}{l}k+b=0\\ 2k+b=\sqrt{3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}k=\sqrt{3}\\ b=-\sqrt{3}\end{array}\right.$，
∴直线BP的解析式为y=$\sqrt{3}$x-$\sqrt{3}$．
作ME∥x轴交PB于E，
设M（m，$\frac{2\sqrt{3}}{m}$），则E（$\frac{2}{m}$+1，$\frac{2\sqrt{3}}{m}$），则ME=m-$\frac{2}{m}$-1，
∵△MBP的面积等于菱形ABCP面积，
∴$\frac{1}{2}$×$\sqrt{3}$（m-$\frac{2}{m}$-1）=2×$\sqrt{3}$，
化简得，m²-5m-2=0，解得m₁=$\frac{5+\sqrt{33}}{2}$，m₂=$\frac{5-\sqrt{33}}{2}$＜0（舍去），
∴M（$\frac{5+\sqrt{33}}{2}$，$\frac{3\sqrt{11}-5\sqrt{3}}{2}$）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、利用待定系数法求一次函数的解析式、三角形的面积等知识，难度较大．