Question

如图，在△ABC中，AC=BC，∠C=90°，D是AC边上一点，过A，D分别作AE⊥AB，DE⊥BD，其垂线相交于E，求证：BD=DE．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：证明题

分析：在CB上截取作C=CD，由AC=CB得BF=AD，再根据等角的余角相等得到∠ADE=∠DBC，接着判断△CFD和△CAB都是等腰直角三角形，得到∠CFD=∠CDF=∠CBA=∠CAB=45°，所以∠DAE=∠BFD=135°，然后根据“AAS”可判断△BFD≌△ADE，则根据全等的性质即可得到BD=DE．

解答：证明：在CB上截取作C=CD，
∵AC=CB，
∴BF=AD，
∵∠C=90°，BD⊥DE，
∴∠CBD+∠BDC=90°，∠ADE+∠BDC=90°，
∴∠ADE=∠DBC，
∵CF=CD，AC=BC，
∴△CFD和△CAB都是等腰直角三角形，
∴∠CFD=∠CDF=∠CBA=∠CAB=45°，
∴∠DAE=∠BFD=135°，
在△BFD和△ADE中，

∠BFD=∠DAE ∠DBF=∠ADE BF=DA

，
∴△BFD≌△ADE（AAS），
∴BD=DE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．本题的关键是构造△BFD与△ADE全等．