Question

如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠ABC=30°，Q是AB上的一点，⊙O分别与AC、BC相切于点A、D，与AB交于另一点E，若BE=2，则切线CD的长为（　　）

• A、

  3

• B、2

  3

• C、3

  3

• D、6

Answer 1

考点：切线的性质

专题：计算题

分析：连结OD，如图，根据切线的性质，由BC为⊙O的切线得到OD⊥BC，在Rt△OBD中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到OB=2OD，加上OB=OE+BE，所以OD+2=2OD，解得OD=2，再由AC与⊙O相切得到AE=2OD=4，可计算出AB=6，然后在Rt△ABC中根据含30度的直角三角形三边的关系计算出AC，再利用切线长定理得到CD的长．

解答：解：连结OD，如图，
∵BC为⊙O的切线，
∴OD⊥BC，
在Rt△OBD中，∵∠B=30°，
∴OB=2OD，
而OB=OE+BE，
∴OD+2=2OD，解得OD=2，
∵AC与⊙O相切，
∴AE=2OD=4，
∴AB=AE+BE=6，
在Rt△ABC中，∵∠B=30°，
∴AC=

3

3

AB=2

3

，
∴CD=AC=2

3

．
故选B．

点评：本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．若出现圆的切线，必连过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系．