Question

已知AB为⊙O的弦，C为⊙O上一点，∠C=∠BAD，且BD⊥AB于点B，
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，AB=6，求AD的长．

Answer 1

考点：切线的判定

专题：

分析：（1）利用圆周角定理结合切线的判定方法得出∠OAE+∠BAD=90°，即可得出答案；
（2）首先得出△OAE∽△ADB，进而利用相似三角形的性质求出即可．

解答：（1）证明：连接OA，OB，过点O作OE⊥AB于点E，
∵AO=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵OE⊥AB，
∴∠AOE=∠EOB，
∵∠ACB=∠BAD，
∴∠AOE=∠BAD，
∵∠AOE+∠OAE=90°，
∴∠OAE+∠BAD=90°，
∴AD是⊙O的切线；

（2）解：∵∠AOE=∠BAD，∠AEO=∠ABD=90°，
∴△OAE∽△ADB，
∴

AO

AD

=

EO

AB

，
∵⊙O的半径为5，AB=6，
∴AE=3，则EO=4，
∴

5

AD

=

4

6

，
解得：AD=7.5．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及切线的判定等知识，正确掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．