Question

3．如图1，我们定义：在四边形ABCD中，若AD=BC，且∠ADB+∠BCA=180°，则把四边形ABCD叫做互补等对边四边形．
（1）如图2，在等腰△ABE中，AE=BE，四边形ABCD是互补等对边四边形，求证：∠ABD=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠AEB．
（2）如图3，在非等腰△ABE中，若四边形ABCD仍是互补等对边四边形，试问∠ABD=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠AEB是否仍然成立？若成立，请加以证明；若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据等边对等角可得∠EAB=∠EBA，根据四边形ABCD是互补等对边四边形，可得AD=BC，根据SAS可证△ABD≌△BAC，根据全等三角形的性质可得∠ABD=∠BAC，再根据等腰三角形的性质即可证明；
（2）仍然成立；理由如下：如图所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，证明△AGD≌△BFC，得到AG=BF，又AB=BA，所以△ABC≌△BAF，得到∠ABD=∠BAC，根据∠ADB+∠BCA=180°，得到∠EDB+∠ECA=180°，进而得到∠AEB+∠DHC=180°，由∠DHC+∠BHC=180°，所以∠AEB=∠BHC．因为∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，所以∠ABD=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠AEB．

解答 解：（1）∵AE=BE，
∴∠EAB=∠EBA，
∵四边形ABCD是互补等对边四边形，
∴AD=BC，
在△ABD和△BAC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=BC}&{\;}\\{∠DAB=∠CBA}&{\;}\\{AB=BA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABD≌△BAC（SAS），
∴∠ADB=∠BCA，
又∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠ADB=∠BCA=90°，
在△ABE中，∵∠EAB=∠EBA=$\frac{180°-∠AEB}{2}$=90°-$\frac{1}{2}$∠AEB，
∴∠ABD=90°-∠EAB=90°-（90°-$\frac{1}{2}$∠AEB）=$\frac{1}{2}$∠AEB，
同理：∠BAC=$\frac{1}{2}$∠AEB，
∴∠ABD=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠AEB；
（2）仍然成立；
理由如下：如图③所示：过点A、B分别作BD的延长线与AC的垂线，垂足分别为G、F，

∵四边形ABCD是互补等对边四边形，
∴AD=BC，∠ADB+∠BCA=180°，
又∠ADB+ADG=180°，
∴∠BCA=∠ADC，
又∵AG⊥BD，BF⊥AC，
∴∠AGD=∠BFC=90°，
在△AGD和△BFC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AGD=∠BFC}\\{∠BCA=∠ADC}\\{AD=BC}\end{array}\right.$
∴△AGD≌△BFC，
∴AG=BF，
在△ABG和△BAF中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=BA}\\{AG=BF}\end{array}\right.$
∴△ABG≌△BAF，
∴∠ABD=∠BAC，
∵∠ADB+∠BCA=180°，
∴∠EDB+∠ECA=180°，
∴∠AEB+∠DHC=180°，
∵∠DHC+∠BHC=180°，
∴∠AEB=∠BHC．
∵∠BHC=∠BAC+∠ABD，∠ABD=∠BAC，
∴∠ABD=∠BAC=$\frac{1}{2}$∠AEB．

点评 本题考查了等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质，解决本题的关键是根据SAS证明△ABD≌△BAC．