Question

2．某手机专卖店销售A，B两种型号的手机，如表是近两周的销售情况：

销售时段	销售数量		销售利润
	A型	B型
第一周	3台	5台	1800元
第二周	4台	10台	3000元

（1）求每台A型手机和B型手机的销售利润；
（2）该手机专卖店计划一次购进两种型号的手机共100台，其中A型号手机的进货量不超过B型号手机进货量的2倍．设购进A型号手机x台，这100台手机的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数表达式；
②该商店购进A型号和B型号手机各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）实际进货时，厂家对A型号手机的出厂价提高a（0＜a＜100）元，对B型号手机的出厂价下降a（0＜a＜100）元，且限定该手机专卖店至少购进A型号手机20台．若该手机专卖店保持两种手机的售价不变，请根据以上信息及（2）中条件，设计出使这100台手机销售总利润最大的进货方案．

Answer 1

分析 （1）设每台A型手机利润为a元，每台B型手机的销售利润为b元；根据题意列出方程组求解，
（2）①据题意得，y=300x+180（100-x）；②利用不等式求出x的范围，又因为y=120x+18000是增函数，即可得出答案；
（3）据题意得，y=（300-a）x+（180+a）（100-x），即y=（120-2a）x+18000+100a，分三种情况讨论，①当0＜a＜60时，120-2a＞0，y随x的增大而增大，②a=60时，120-2a=0，y=24000，③当60＜a＜100时，120-2a＜0，y随x的增大而减小，分别进行求解．

解答 解：（1）设每台A型手机销售利润为a元，每台B型手机的销售利润为b元；根据题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{3a+5b=1800}\\{4a+10b=3000}\end{array}\right.$，
解得：
$\left\{\begin{array}{l}{a=300}\\{b=180}\end{array}\right.$，
答：每台A型手机销售利润为100元，每台B型手机的销售利润为150元．
（2）①据题意得，y=y=300x+180（100-x）=120x+18000；
②据题意得，x≤2（100-x），解得x≤66$\frac{2}{3}$，
∵y=120x+18000，120＞0，
∴y随x的增大而增大，
∵x为正整数，
∴当x=66时，y取最大值，则100-66=34，
即商店购进66台A型手机和34台B型手机的销售利润最大．
（3）据题意得，y=（300-a）x+（180+a）（100-x），即y=（120-2a）x+18000+100a，20≤x≤66$\frac{2}{3}$，
①当0＜a＜60时，120-2a＞0，y随x的增大而增大
∴当x=66时，y取最大值，
②a=60时，120-2a=0，y=18000+100a=24000，
即商店购进A型手机数量满足x≤66$\frac{2}{3}$，的整数时，均获得最大利润；
③当60＜a＜100时，120-2a＜0，y随x的增大而减小，
∴当x=20时，y取得最大值．
即商店购进20台A型手机和80台B型手机的销售利润最大．

点评 本题主要考查了一次函数的应用，二元一次方程组及一元一次不等式的应用，解题的关键是根据一次函数x值的增大而确定y值的增减情况．