Question

7．【探究函数y=x+$\frac{4}{x}$的图象与性质】
（1）函数y=x+$\frac{4}{x}$的自变量x的取值范围是x≠0；
（2）下列四个函数图象中函数y=x+$\frac{4}{x}$的图象大致是C；

（3）对于函数y=x+$\frac{4}{x}$，求当x＞0时，y的取值范围．
请将下列的求解过程补充完整．
解：∵x＞0
∴y=x+$\frac{4}{x}$=（$\sqrt{x}$）²+（$\frac{2}{\sqrt{x}}$）²=（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）²+4
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）²≥0
∴y≥4．
[拓展运用]
（4）若函数y=$\frac{{x}^{2}-5x+9}{x}$，则y的取值范围y≥1或y≤-11．

Answer 1

分析 根据反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质解答即可．

解答 解：（1）函数y=x+$\frac{4}{x}$的自变量x的取值范围是x≠0；
（2）函数y=x+$\frac{4}{x}$的图象大致是C；
（3）解：∵x＞0
∴y=x+$\frac{4}{x}$=（$\sqrt{x}$）²+（$\frac{2}{\sqrt{x}}$）²=（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）²+4
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{2}{\sqrt{x}}$）²≥0
∴y≥4．
（4）①当x＞0，y=$\frac{{x}^{2}-5x+9}{x}$=x+$\frac{9}{x}$-5═（$\sqrt{x}$）²+（$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²-5=（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²+1
∵（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²≥0，
∴y≥1．
②x＜0，y=$\frac{{x}^{2}-5x+9}{x}$=x+$\frac{9}{x}$-5═-[（$\sqrt{-x}$）²+（$\frac{3}{\sqrt{-x}}$）²+5]=-（$\sqrt{-x}$-$\frac{3}{\sqrt{-x}}$）²-11=
∵-（$\sqrt{x}$-$\frac{3}{\sqrt{x}}$）²≤0，
∴y≤-11．
故答案为：x≠0，C，4，4，y≥1或y≤-11，

点评 本题考查了反比例函数的性质，一次函数的性质，二次函数的性质，熟记函数的性质是解题的关键．